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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f: [mm] D\to \IR [/mm] und eine Teilmenge [mm] B\subseteq \IR. [/mm] Mit [mm] f^{-1}(B) [/mm] wird die Menge aller Punkte der Menge D, die auf B abgebildet werden, bezeichnet. Also [mm] f^{-1}(B)= {x\in D: f(x)\in B}. [/mm] Diese Menge wird das Urbild von B genannt.
a) Für f(x)= [mm] x^2, [/mm] A=[0,4], B=[-1,1] finden sie [mm] f^{-1}(A) [/mm] und [mm] f^{-1}(B). [/mm] gelten [mm] f^{-1}(A\cap B)=f^{-^}(A)\cap f^{1} [/mm] (B) und [mm] f^{-1}(A\cup [/mm] B)= [mm] f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) [/mm] in diesem Fall?
b) Das in a) demonstrierte Verhalten von Urbildern ist allgemein gültig. zeigen sie, dass für eine beliebige Funktion g: [mm] \IR \to \IR [/mm] gilt: [mm] g^{-1} (A\cap [/mm] B)= [mm] g^{-1}(A)\cap g^{-1}(B) [/mm] und [mm] g^{-1}(A\cup [/mm] B)= [mm] g^{-1}(A) \cup g^{-^}(B) [/mm] für alle Mengen [mm] A,B\subseteq \IR. [/mm] |
Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen? Ich sitze schon lange dran, aber mit dem Urbild habe ich mich echt verstritten! Würde das gerne verstehen!!!
LG mathegirl
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> Gegeben ist die Funktion f: [mm]D\to \IR[/mm] und eine Teilmenge
> [mm]B\subseteq \IR.[/mm] Mit [mm]f^{-1}(B)[/mm] wird die Menge aller Punkte
> der Menge D, die auf B abgebildet werden, bezeichnet. Also
> [mm]f^{-1}(B)= \{x\in D: f(x)\in B\}.[/mm] Diese Menge wird das Urbild
> von B genannt.
Hallo,
Du sagst, daß Dir der Urbildbegriff ein Problem bereitet.
Kannst Du das Problem genauer benennen?
Oben ist "Urbild" ja in Worten beschrieben und in Zeichen definiert worden.
Was genau ist unklar?
Mal ein Beispiel:
Wir betrachten [mm] f:\{1,2,3\} \to \{a,b,c,d\} [/mm] mit
f(1):=a
f(2):=a
f(3):=b
Das Urbild von [mm] \{a,c\}, [/mm] also [mm] f^{-1}(\{a,c\}) [/mm] ist die Menge [mm] \{1,2\}, [/mm] denn die Funktionswerte von 1 und 2 sind genau die, die in [mm] \{a,c\} [/mm] liegen.
Kannst Du sagen, was des Urbild von [mm] \{a\} [/mm] ist, und was das Urbild von [mm] \{b,d\} [/mm] ?
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>
> a) Für f(x)= [mm]x^2,[/mm] A=[0,4], B=[-1,1] finden sie [mm]f^{-1}(A)[/mm]
> und [mm]f^{-1}(B).[/mm]
Die Funktionswerte welcher Elemente liegen in A, und die Funktionswerte welcher Elemente liegen in B?
Um den Rest kann man sich kümmern, wenn dies schonmal geklärt ist.
Gruß v. Angela
> gelten [mm]f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{1-}(B)[/mm]
> (B) und [mm]f^{-1}(A\cup[/mm] B)= [mm]f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)[/mm] in diesem
> Fall?
>
>
> b) Das in a) demonstrierte Verhalten von Urbildern ist
> allgemein gültig. zeigen sie, dass für eine beliebige
> Funktion g: [mm]\IR \to \IR[/mm] gilt: [mm]g^{-1} (A\cap[/mm] B)=
> [mm]g^{-1}(A)\cap g^{-1}(B)[/mm] und [mm]g^{-1}(A\cup[/mm] B)= [mm]g^{-1}(A) \cup g^{-^}(B)[/mm]
> für alle Mengen [mm]A,B\subseteq \IR.[/mm]
> Könnt ihr mir bei
> dieser Aufgabe helfen? Ich sitze schon lange dran, aber mit
> dem Urbild habe ich mich echt verstritten! Würde das gerne
> verstehen!!!
>
> LG mathegirl
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Warum liegen 1,2 in {a,c} und nicht in {a,b}? ich habe irgendwie gar keine Vorstellung und denke vielleicht einfach nur zu kompliziert!
mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Ausführlich:
[mm] $f^{-1}( \{a,c\})= \{x \in \{1,2,3\}: f(x) \in \{a,c\} \}= \{1,2\}$
[/mm]
FRED
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entweder steh ich auf der leitung oder ich bin doof!!!! warum ist {a,c} nicht {1,3} zugeordent sondern {1,3}??
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir hatten:
f(1):=a
f(2):=a
f(3):=b
Preisfrage (zu gewinnen gibts nix ):
für welche x [mm] \in [/mm] { 1,2,3 } ist f(x) [mm] \in [/mm] { a,c } ?
Test 1: f(1) =a . Bingo !!! x=1 tuts !
Test 2: f(2) =a . Bingo !!! x=2 tuts !
Test 3: f(3) =b . Uahh !!! x=3 tuts nicht !
Fazit: [mm] $f^{-1}(\{a,c\})= \{1,2\}$
[/mm]
FRED
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achso....okay...also steht für das c) sag ich mal "gar nichts....okay...denke ich hab es verstanden ;)
Danke !
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> achso....okay...also steht für das c) sag ich mal "gar
> nichts....okay...denke ich hab es verstanden ;)
Hallo,
kein Wunder: Freds tolle Matheratespiele sind immer ungemein lehrreich. Schade, daß es diesmal nichts zu gewinnen gab, und daß er ganz allein gespielt hat.
Nicht so toll wie sein Spiel ist Deine Formulierung
> also steht für das c) sag ich mal "gar
> nichts
- für eine Mathematikstudentin ist sie sogar äußerst haarstäubend.
Vielleicht meinst Du dies:
"Kein Element aus [mm] \{1,2,3\} [/mm] wird durch f auf c abgebildet."
oder
"Für alle [mm] x\in \{1,2,3\} [/mm] gilt: [mm] f(x)\not=3."
[/mm]
Oder wolltest Du womöglich ausdrücken, daß [mm] f^{-1}(\{c\})=\emptyset [/mm] ?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
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> > achso....okay...also steht für das c) sag ich mal "gar
> > nichts....okay...denke ich hab es verstanden ;)
>
> Hallo,
>
> kein Wunder: Freds tolle Matheratespiele sind immer
> ungemein lehrreich.
Hallo Angela,
danke für das Lob.
> Schade, daß es diesmal nichts zu
> gewinnen gab,
....................ich verspreche, dass es in Zukunft wieder was zu gewinnen gibt. ....
(vielleicht eine imaginäre Flasche pfälzer Wein ?)
> und daß er ganz allein gespielt hat.
.............hätte ich mir denken können, dass Du gerne mitgespielt hättest, tut mir leid ...
Gruß FRED
>
> Nicht so toll wie sein Spiel ist Deine Formulierung
> > also steht für das c) sag ich mal "gar
> > nichts
> - für eine Mathematikstudentin ist sie sogar äußerst
> haarstäubend.
>
> Vielleicht meinst Du dies:
> "Kein Element aus [mm]\{1,2,3\}[/mm] wird durch f auf c
> abgebildet."
> oder
> "Für alle [mm]x\in \{1,2,3\}[/mm] gilt: [mm]f(x)\not=3."[/mm]
> Oder wolltest Du womöglich ausdrücken, daß
> [mm]f^{-1}(\{c\})=\emptyset[/mm] ?
>
> Gruß v. Angela
>
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Di 09.11.2010 | | Autor: | Mathegirl |
Ganz so schlimme Vorstellungen von teilmngen hab ich dann doch nicht. Ich wollte dami ehr sagen, dass keines dieser Elemente auf c abgebildet wird!
Aber trotzdem komme ich mit der Aufgabe nicht voran! Auch meine sonst sehr guten mitstudenten kommen damit nicht zurecht! komisch..
LG Mathegirl
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Ganz so schlimme Vorstellungen von teilmngen hab ich dann doch nicht. Ich wollte dami ehr sagen, dass keines dieser Elemente auf c abgebildet wird!
Aber trotzdem komme ich mit der Aufgabe nicht voran! Auch meine sonst sehr guten mitstudenten kommen damit nicht zurecht! komisch..
LG Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Di 09.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ganz so schlimme Vorstellungen von teilmngen hab ich dann
> doch nicht. Ich wollte dami ehr sagen, dass keines dieser
> Elemente auf c abgebildet wird!
>
> Aber trotzdem komme ich mit der Aufgabe nicht voran!
Dann stelle Fragen
FRED
> Auch
> meine sonst sehr guten mitstudenten kommen damit nicht
> zurecht! komisch..
>
>
> LG Mathegirl
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ich verstehe nicht was ich bei der aufgabe machen soll bzw. ich kann das nicht anwenden!
mathegirl
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> ich verstehe nicht was ich bei der aufgabe machen soll bzw.
> ich kann das nicht anwenden!
>
> mathegirl
Hallo,
vielleicht verwechsele ich Dich, jedenfalls habe ich das Gefühl, Dir schon zigmal gesagt zu haben, daß Du konkrete Fragen stellen sollst.
Wenn ich Dich recht interpretiere, ist Dir der Urbildbegiff inzwischen ja klarer, so daß Du Dich mal an die Aufgabe a) heranwagen kannst.
Was hast Du denn bisher getan?
Vielleicht wiederhollen wir erstmal, warum es bei der Aufgabe geht.
Wir hatten eine Funktion. Welche?
Wir hatten zwei Mengen A:=... und B:= ...
Bestimmen solltest Du nun u.a. das Urbild dieser Mengen.
Kannst Du nochmal sagen, was das Urbild einer Menge ist? Wie ist das definiert?
Wenn das klar ist, versuch mal herauszufinden, was die beiden Urbilder sind. was mußt Du dafür überlegen?
Präsentiere Deine Ergebnisse zusammenhängend und nachvollziehbar.
Wir wollen Aktivitäten sehen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Do 11.11.2010 | | Autor: | dfx |
Hallo,
das war ja bisher eine ganze Menge Theorie. Ich hab mich entschlossen dir mal etwas aufzumalen, was mir geholfen hat die Aufgabe zu verstehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Da findest du die Mengen A und B. Wichtig um die Aufgabe ohne eine Skizze zu verstehen, wäre es sich die Definition [mm] $f^{-1}(B) [/mm] = [mm] \{x \in D: f(x) \in B\}$ [/mm] genauer anzuschauen. Am besten ist, man schreibt sie sich für die Aufgaben nochmal passend dazu. Denn ich finde, die Formulierung in Form der Aufgabenstellung ist etwas unglücklich. An-sich schränken $A$ und $B$ für-sich den Wertebereich ein, worauf, das siehst du in der Skizze ganz gut. Dabei ist im Fall [mm] x^2 [/mm] unerheblich, was unterhalb der $x$-Achse liegt. Man betrachtet daher sowieso nur von 0 bis zum positiven $y$-Wert. Das hat allerdings keine so große Bedeutung. Es könnte aber auch dazugeschrieben werden, wenn man zum Beispiel die Urbilder von $A$ und $B$ angibt:
[mm] $f^{-1}(A) [/mm] = [mm] f^{-1}([0,4]) [/mm] = [-2,2]$
[mm] $f^{-1}(B) [/mm] = [mm] f^{-1}([-1,1]) [/mm] = [mm] f^{-1}([0,1]) [/mm] = [-1,1]$
In der zweiten Zeile habe ich es mal dazugeschreiben, dass [mm] $f^{-1}([-1,1]) [/mm] = [mm] f^{-1}([0,1])$ [/mm] im Falle von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ist. Von den Urbildern bildet man noch Vereinigung und Durchschnitt wie gefordert, dann geht's weiter mit dem zweiten Teil der Aufgabe. Dort soll man die erwähnten Beziehungen für beliebige $A$ und $B$ beweisen. Das werde ich jetzt aber an dieser Stelle nicht weiter ausführen.
gruss, dfx
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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