Urbilder, Mengen, skizzieren < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:50 So 08.11.2009 | | Autor: | Kubis |
| Aufgabe | meine Aufgabe lautet
Gegeben seien die Funktionen
f:R ->R , f(x) = sin x
und
g:R -> R , g(x) = [mm] e^{x}
[/mm]
a)
Bestimmen Sie die Urbilder f^-1 ({0,1}) und g^-1 ({-3,1,2})
b)
Finden Sie größtmögliche Mengen [mm] D_f, D_g, R_f, R_g [/mm] C(teilmenge) R
f: [mm] D_f [/mm] -> [mm] R_f, [/mm] f(x) = sin x und
g: [mm] D_g [/mm] -> [mm] R_g, [/mm] g(x)= [mm] e^{x}
[/mm]
bijektiv sind
c) skizzieren Sie den Graph von f und [mm] f^{-1} [/mm] sowie g und [mm] g^{-1}
[/mm]
g und f sind von der aufgabe b)
Ich hoffe ihr könnt mir da helfen, komm einfach nicht weiter |
Könnt mir hier helfen
hab keine ahnung ne lösung wäre echt lieb von euch
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=400663
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> meine Aufgabe lautet
>
> Gegeben seien die Funktionen
>
> f:R ->R , f(x) = sin x
> und
> g:R -> R , g(x) = [mm]e^{x}[/mm]
>
> a)
> Bestimmen Sie die Urbilder f^-1 ({0,1}) und g^-1
> ({-3,1,2})
>
> Ich hoffe ihr könnt mir da helfen, komm einfach nicht
> weiter
> Könnt mir hier helfen
> hab keine ahnung ne lösung wäre echt lieb von euch
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast das Forum noch nicht richtig verstanden:
es gibt hier zwar Hilfe bei der Erstellung von Lösungen, fertige Lösungen allerdings eher nicht.
Lies Dir mal die Forenregeln durch, insbesondere den Passus über eigene Lösungsansätze.
Das Urbild von [mm] \{0,1\} [/mm] bzgl. f besteht aus allen Elementen des Definitionsbereiches, welche duch f auf die 0 oder die 1 abgebildet werden,
[mm] g^-1(\{-3,1,2\}) [/mm] entsprechend.
Gruß v. Angela
>
> b)
> Finden Sie größtmögliche Mengen [mm]D_f[/mm] -> [mm]R_f,[/mm] f(x) = sin
> x
> und
> g: [mm]D_g[/mm] -> [mm]R_g,[/mm] g(x)= [mm]e^{x}[/mm]
> bijektiv sind
>
> c) skizzieren Sie den Graph von f und [mm]f^{-1}[/mm] sowie g und
> [mm]g^{-1}[/mm]
> g und f sind von der aufgabe b)
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=400663
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 08.11.2009 | | Autor: | Kubis |
würde ja gerne helfen aber ich hab da keine ahnung wie es geht.
sry will es ja selber verstehen und hab auch im internet geschaut aber ich versteh des einfach nicht und deswegen brauch ich hilfe und vllt ne lösung damit ich es verstehen kann also den lösungsweg nach vollziehen kann.
danke
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> würde ja gerne helfen aber ich hab da keine ahnung wie es
> geht.
Hallo,
was hast Du denn jetzt mit meinem Lösungshinweis zu a) gemacht?
Bitte stell Deine Fragen konkreter. Zum Helfen müssen wir wissen, wo das Problem ist - ob eher in den Definitionen (nachschlagen!), in der Rechentechnik oder sonstwo.
Ich hab' Dir doch gesagt, was in der Menge [mm] f^{-1}(\{0,1\}) [/mm] drin ist.
Für welche x gilt denn 1=f(x)=sin(x) oder 0=f(x)=sin(x) ?
Die Sinusfunktion kennst Du doch bestimmt, ansonsten schau sie Dir mal an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 So 08.11.2009 | | Autor: | Kubis |
also für 1=sin(x) ist x= pi/2
und für 0=sin (x) ist x=0
und für [mm] g(x)e^x [/mm] bekomme ich für -3 = ln 3 für 1 bekomme ich = 0 und für 2 bekomme ich gleich = ln2
und was soll ich jetzt machen?
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> also für 1=sin(x) ist x= pi/2
> und für 0=sin (x) ist x=0
Hallo,
das ist schonmal ein guter Anfang.
Ganz sicher sind [mm] \pi/2, 0\in f^{-1}(\{0,1\}).
[/mm]
Aber bedenke: Du sollst alle x sagen, die darauf abgebildet werden.
Da haben wir im Intervall [mm] [0,2\pi[ [/mm] schonmal noch ein weiteres Element, welches auf die 0 abgebildet wird.
Dann betrachten wir f aber sogar über ganz [mm] \IR, [/mm] Du mußt also die Periodizität der Funktion noch berücksichtigen.
das gibt 'nen ganzen Strauß v. Elementen!
>
> und für [mm]g(x)= e^x[/mm] bekomme ich für -3 = ln 3
Da bist Du reingefallen!
[mm] e^x [/mm] ist doch immer positiv.
Es gibt gar kein x mit [mm] e^x=-3.
[/mm]
Es ist doch [mm] e^{ln 3}=\red{+3}.
[/mm]
> für 1
> bekomme ich = 0 und für 2 bekomme ich gleich = ln2
Genau.
Aufgrund des Verlaufes der e-Funktion (streng monoton wachsend) weiß man, daß das die einzigen Lösungen sind.
> und was soll ich jetzt machen?
Aufschreiben: [mm] g^{-1}(\{-3, 2, 1\})= \{ 0, ln 2\}.
[/mm]
Merkst Du, daß es nicht so schwierig ist, wenn man erstmal die Definition des Urbildes kennt?
Wenn man vor solchen Aufgaben sitzt und nicht weiß, was man tun soll, muß man immer erstmal nachschlagen, was die Worte und Zeichen bedeuten.
Manches läuft danach von ganz allein. Und vorher kann's nicht klappen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 So 08.11.2009 | | Autor: | Kubis |
also ist die lösung vom urbild von [mm] g^{-1}
[/mm]
$ [mm] g^{-1}(\{-3, 2, 1\})= \{ 0, ln 2\}. [/mm] $ ??
und was ist die lösung von
$ [mm] f^{-1}(\{0, 1\})= \{ pi/2, 0\}. [/mm] $ oder N€R??
wars es dann für die teilaufgabe a) oder muss ich noch was machen?
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> also ist die lösung vom urbild von [mm]g^{-1}[/mm]
> [mm]g^{-1}(\{-3, 2, 1\})= \{ 0, ln 2\}.[/mm] ??
Hallo,
ja, dann das ist die gesamtheit aller Elemente des Definitionsbereiches [mm] \IR, [/mm] welche durch g auf -3, 2 oder 1 abgebildet werden.
>
> und was ist die lösung von
> [mm]f^{-1}(\{0, 1\})= \{ pi/2, 0\}.[/mm] oder N€R??
Ömm - ich hatte Dir doch durchaus etwas Text zu dieser Teilaufgabe geschreiben, oder?
Hast Du den studiert und durchdacht? Irgendwie nicht... Mal den Sinus aufgemalt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 So 08.11.2009 | | Autor: | Kubis |
also du hast geschrieben das es einen unendlichen strauß geben würde also soll ich unendlich hin schreiben hab mir noch mal die sinus funktion angeschaut
und bin auf folgende lösung gekommen
$ [mm] f^{-1}(\{0, 1\})= \{ pi/2, 0 , 3pi/2\}. [/mm] $
stimmt das??
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> also du hast geschrieben das es einen unendlichen strauß
> geben würde also soll ich unendlich hin schreiben
Nein! Vielleicht war das etwas zu blumig formuliert. Es gibt unendlich viele [mm] x\in \IR.
[/mm]
Welche das sind, wollen Deine Chefs genau von Dir wissen.
hab mir
> noch mal die sinus funktion angeschaut
>
> und bin auf folgende lösung gekommen
>
> [mm]f^{-1}(\{0, 1\})= \{ pi/2, 0 , 3pi/2\}.[/mm]
>
> stimmt das??
Schon besser. Nun guck mal die Sinusfunktion an bis ganz nach rechts und ganz nach links: das wiederholt sich - und alle diese Stellen, an denen der Funktionswert=0 ist oder =1 gehören dazu.
Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 So 08.11.2009 | | Autor: | Kubis |
$ [mm] f^{-1}(\{0, 1\})= \{ -2pi,-3pi/2 ,-pi, -pi/2 , 0, pi/2,, -pi, 3pi/2, 2pi\}. [/mm] $
hoffe das stimmt jetzt?
aber bei der b hab echt keinen ansatz was ich da machen soll
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> [mm]f^{-1}(\{0, 1\})= \{ -2pi,-3pi/2 ,-pi, -pi/2 , 0, pi/2,, -pi, 3pi/2, 2pi\}.[/mm]
>
> hoffe das stimmt jetzt?
Hallo,
Möglicherweise habe ich vorhin was falsches gesagt: [mm] 3\pi/2 [/mm] gehört nicht in die Menge, da ist der Funktionswert doch -1, ebenso bei [mm] -\pi/2.
[/mm]
Also ist [mm] \{ -2pi,-3pi/2 ,-pi, , 0, pi/2,, pi, 2pi\}\subseteq f^{-1}(\{0, 1\}).
[/mm]
Aber hast Du mal ganz weit nach rechts und links den Graphen entlanggeguckt? Das wiederholt sich doch bis in alle Ewigkeiten.
Der Sinus ist doch nicht nur auf [mm] [-2\pi, 2\pi] [/mm] definiert, sondern auf ganz [mm] \IR.
[/mm]
Alle Vielfachen von [mm] \pi [/mm] sind im Urbild von [mm] \{0,1\} [/mm] und gewisse Vielfache von [mm] \pi/2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 So 08.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Edit: mein browser hatte die vielen Antworten nicht registriert, drum die unnötige post.
sin(x) bildet die reellen Zahlen in einen Teil der reellen Zahlen ab.
Das Bild von 0 ist 1 das Bild von [mm] \pi/4 [/mm] ist [mm] 1/2*\wurzel{2}
[/mm]
Das Bild von [mm] \pi/6 [/mm] ist 1/2
so jetzt hab ich die Bilder von ein paar Punkten. Wenn ich nur die habe und weiss das es Bilder von sinx sind dann kann ich fragen wo kommen die her, also was ist das Urbild. also was ist x. und wegen meiner Liste oben weiss ich direkt: das Urbils von 0 ist 0 das Urbild von [mm] \pi/6 [/mm] ist 1/2 usw.
wenn ich eine Funktion habe, die etwas abbildet, will ich das sozusagen rückgängig machen, wenn die fkt f heisst nenn ich das [mm] f^{-1} [/mm] dann ist [mm] (f^{-1}(f(x))=x [/mm] f(x) as bild von x , x selbst das Urbild.
auf der Schule etwa habt ihr die Umkehrfkt von sin(x) wahrscheinlich arcsin genannt.
Wenn es jetzt klarer ist, ist die Aufgabe einfach.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 08.11.2009 | | Autor: | Kubis |
| Aufgabe | Finden Sie größtmögliche Mengen $ [mm] D_f, D_g, R_f, R_g [/mm] $ C(teilmenge) R
f: $ [mm] D_f [/mm] $ -> $ [mm] R_f, [/mm] $ f(x) = sin x und
g: $ [mm] D_g [/mm] $ -> $ [mm] R_g, [/mm] $ g(x)= $ [mm] e^{x} [/mm] $
bijektiv sind |
hi hab da keinen ansatz wie ich es machen soll
könnt ihr mir da helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Finden Sie größtmögliche Mengen [mm]D_f, D_g, R_f, R_g[/mm]
> C(teilmenge) R
> f: [mm]D_f[/mm] -> [mm]R_f,[/mm] f(x) = sin x und
> g: [mm]D_g[/mm] -> [mm]R_g,[/mm] g(x)= [mm]e^{x}[/mm]
> bijektiv sind
> hi hab da keinen ansatz wie ich es machen soll
> könnt ihr mir da helfen?
Hallo,
der Schlüssel zum Erfolg liegt in der Kenntnis der Definitionen für bijektiv, injektiv, surjektiv.
Woran erkennt man, daß eine Funktion surjektiv ist?
Woran erkennt man Injektivität?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 So 08.11.2009 | | Autor: | Kubis |
Finden Sie größtmögliche Mengen $ [mm] D_f, D_g, R_f, R_g [/mm] $ C(teilmenge) R, so dass die funktion
f: $ [mm] D_f [/mm] $ -> $ [mm] R_f, [/mm] $ f(x) = sin x und
g: $ [mm] D_g [/mm] $ -> $ [mm] R_g, [/mm] $ g(x)= $ [mm] e^{x} [/mm] $
bijektiv sind
surjektiv = jedes Element des Bildbereichs wird durch die Abbildung erreicht
injektiv = jedes Element des Bildbereichs wird höchstens einmal durch die Abbildung erreicht
bijektiv = surjektiv und injektiv
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 So 08.11.2009 | | Autor: | Kubis |
könnt ihr mir die lösung geben?
muss es bis morgen lösen
brauche nur die b sonst hab ich alles
danke euch
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> Finden Sie größtmögliche Mengen [mm]D_f, D_g, R_f, R_g[/mm]
> C(teilmenge) R, so dass die funktion
> f: [mm]D_f[/mm] -> [mm]R_f,[/mm] f(x) = sin x und
> g: [mm]D_g[/mm] -> [mm]R_g,[/mm] g(x)= [mm]e^{x}[/mm]
> bijektiv sind
>
> surjektiv = jedes Element des Bildbereichs wird durch die
> Abbildung erreicht
> injektiv = jedes Element des Bildbereichs wird höchstens
> einmal durch die Abbildung erreicht
>
> bijektiv = surjektiv und injektiv
>
Hallo,
ja, genau.
Schade, daß Du jetzt nicht ein bißchen weiter gedacht hast, sondern man alles aus Dir herauskitzeln muß - das bremst.
Welches ist denn dann die größtmögliche Bildmenge [mm] R_f, [/mm] auf welche f surjektiv abbilden kann? Ist die 2 drin? Gibt es ein x mit sin(x)=2?
Also?
Ebenso für g. Welche Funktionswerte kann [mm] g(x)=e^x [/mm] annehmen, und welche nicht? Also kann [mm] R_g [/mm] höchstens was sein bei surjektiver Abbildung?
Wenn Du das hast, mach mal eine Skizze und schränke den Definitionsbereich so ein, daß jedes Element der Wertemenge genau einmal "getroffen " wird.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:37 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Kubis |
also die größte mögliche menge die auf r abgebildet werden kann ist 1 oder? können ja 0 und 1 einsetzen???
oder bin ich da falsch?
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> also die größte mögliche menge die auf r abgebildet
> werden kann ist 1 oder? können ja 0 und 1 einsetzen???
> oder bin ich da falsch?
Hallo,
ja, ziemlich...
Du gehst auch überhaupt nicht auf die Fragen ein, die ich Dir zuvor gestellt hatte.
Ich frage doch nicht, weil ich's nicht weiß, sondern um Dich zur Lösung zu leiten...
Welche Funktionswerte kann die Sinusfunktion denn überhaupt nur annehmen und welche die e-Funktion?
Diese Überlegung liefert die maximalen Wertebereiche (Bildbereiche), auf welchen die Funktionen überhaupt surjektiv sein können.
In [mm] R_f [/mm] darf kein Element sein, welches durch die Funktion nicht getroffen wird, und es darf keines fehlen, welches getroffen wird.
Für g genauso.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Kubis |
also bei sinus ist es 2pi bis -2pi
und bei [mm] e^x [/mm] ist der werteerbreich 0 bis unendlich oder?
wie gesagt hab da echt keine ahnung
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> also bei sinus ist es 2pi bis -2pi
Hallo,
nein. der Sinus bildet auf Werte zwischen -1 und 1, also aufs Intervall [-1, 1] ab.
> und bei [mm]e^x[/mm] ist der werteerbreich 0 bis unendlich oder?
Genau. [mm] R_g=]0, \infty[
[/mm]
> wie gesagt hab da echt keine ahnung
Wovon denn jetzt genau?
Nun schau Dir die Funktionen - also ihre Graphen - an:
wie mußt Du den Definitionsbereich wählen, damit auf jedes Element des max. Bildbereiches genau ein Element des Definitionsbereiches abgebildet wird?
Der Def.bereich [mm] \IR [/mm] ist bei der Sinusfunktion dafür viel zu groß, ebenso wie [mm] [-2\pi, \2pi]. [/mm] das muß weiter eingeschränkt werden, denn die Funktion soll ja nun bijektiv nach [mm] R_f=[-1,1] [/mm] abbilden.
Gruß v. Angela
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