Urbilder < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Sa 03.11.2012 | | Autor: | apple314 |
| Aufgabe | Seien M,N Mengen und f: M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung. Für eine Teilmenge A [mm] \subseteq [/mm] M ist [mm] f^{-1}(f(A)) \subseteq [/mm] M das Urbild des Bildes von A. Für eine Teilmenge B [mm] \subseteq [/mm] N ist [mm] f(f^{-1}(B)) \subseteq [/mm] N das Bild des Urbildes von B.
Zeigen sie die folgenden Aussagen für alle A [mm] \subseteq [/mm] M, B [mm] \subseteq [/mm] N:
a) Es ist [mm] f(f^{-1}(B)) \subseteq [/mm] B, aber im Allgemeinen gilt nicht [mm] \supseteq [/mm]
b) Zeigen Sie, dass in a) genau dann Gleichheit gilt, wenn f surjektiv ist.
c) Es ist [mm] f^{-1}(f(A)) \supseteq [/mm] A, aber im Allgemeinen gilt nicht [mm] \subseteq.
[/mm]
d) Zeigen Sie, dass in c) genau dann Gleichheit gilt, wenn f injektiv ist. |
Hi zusammen!
Also ich bin im Bezug auf diese Aufgabe sehr sehr unsicher. Ich hab versucht, mit Hilfe des Vorlesungsskriptes Aufgabenteil a) zu lösen..
a) [mm] f(f^{-1}(B)) \subseteq [/mm] B
[mm] f^{-1}(B) [/mm] := {m [mm] \in [/mm] M | f(m) [mm] \in [/mm] B}
Da f(m) [mm] \in [/mm] B ist, sollte [mm] f^{-1}(B) [/mm] := {m [mm] \in [/mm] M | f(m) [mm] \in [/mm] B} [mm] \subseteq [/mm] B sein.
[mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] := {f(m) | m [mm] \in [/mm] B} auch hier liegen m und damit auch f(m) in B und deshalb sollte gelten:
[mm] f(f^{-1}(B)) \subseteq [/mm] B
Um zu zeigen, dass die umgekehrte Inklusion nicht gilt, müsste ich ja dann nur ein Gegenbeispiel finden, richtig?
Aber die Frage ist jetzt: Hab ich's mir hier zu einfach gemacht, stimmt das überhaupt? Wenn nein, kann mir jemand einen Tipp geben wie das sonst zu lösen ist?
Viele liebe Grüße,
apple314
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo apple314,
> b) Zeigen Sie, dass in a) genau dann Gleichheit gilt, wenn
> f surjektiv ist.
Gemeint ist hier vermutlich: Zeigen Sie, dass in a) genau dann Gleichheit für ALLE [mm] $B\subseteq [/mm] N$ gilt, wenn f surjektiv ist.
Für Aufgabenteil d) gilt Analoges.
> a) [mm]f(f^{-1}(B)) \subseteq[/mm] B
>
>
> [mm]f^{-1}(B)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$m [mm]\in[/mm] M | f(m) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da f(m) [mm]\in[/mm] B ist, sollte [mm]f^{-1}(B)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$m [mm]\in[/mm] M | f(m) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> B$\}$ [mm]\subseteq[/mm] B sein.
Nein. Wenn [mm] $f(m)\in [/mm] B$ gilt, warum sollte [mm] $m\in [/mm] B$ sein?
> [mm]f(f^{-1}(B))[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$f(m) | m [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$
Hier muss es am Ende $f^{-1}(B)$ anstelle von B lauten.
> auch hier liegen m und damit
> damit auch f(m) in B und deshalb sollte gelten:
>
> [mm]f(f^{-1}(B)) \subseteq[/mm] B
Bei Beweisen von Teilmengen-Beziehungen bietet sich fast immer folgendes Vorgehen an:
Sei x aus der einen Menge. Dann ist zu zeigen, dass x auch in der anderen Menge liegt.
Wenn das gezeigt wurde: Weil x aus der einen Menge beliebig war, liegen somit ALLE x aus der einen Menge in der anderen Menge. Mit anderen Worten: Die eine Menge ist Teilmenge der anderen Menge.
Hier:
Sei [mm] $n\in f(f^{-1}(B))$. [/mm] Dann hat n die Form $n=f(m)$ für ein [mm] $m\in f^{-1}(B)$. [/mm] Wegen [mm] $m\in f^{-1}(B)$ [/mm] gilt [mm] $f(m)\in [/mm] B$, also [mm] $n=f(m)\in [/mm] B$.
> Um zu zeigen, dass die umgekehrte Inklusion nicht gilt,
> müsste ich ja dann nur ein Gegenbeispiel finden, richtig?
Genau.
Damit du eine Chance hast, ein passendes [mm] $B\subseteq [/mm] N$ zu finden, musst du gemäß b) ein f wählen, das nicht surjektiv ist.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
Hi und danke für die Antwort!
Ich hab jetzt gerade ein Problem beim wählen meines Gegenbeispieles... also meistens sollte man das ja relativ einfach wählen, die Mengen sollten hierbei nicht mehr als ein paar Elemente haben.. ich bin mir nur gerade nicht sicher, wie ich f(m) oder generell die Abbildung f dann darstellen soll...
Da is ja ein nicht surjektives f wählen soll, muss gelten f(M) [mm] \not= [/mm] N .. was genau bedeutet das aber für die Wahl meiner Beispielmengen? Beim kartesischen Produkt etc. war das ja noch einfach.. aber wie setz ich meine gewählten Elemente in das Urbild bzw. in die Abbildung ein?? :(
Grüße,
apple314
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hab jetzt gerade ein Problem beim wählen meines
> Gegenbeispieles... also meistens sollte man das ja relativ
> einfach wählen, die Mengen sollten hierbei nicht mehr als
> ein paar Elemente haben.. ich bin mir nur gerade nicht
> sicher, wie ich f(m) oder generell die Abbildung f dann
> darstellen soll...
Wie wäre es mit [mm] $M=\{0,1\}$, $N=\{a,b\}$ [/mm] und [mm] $f\colon M\to [/mm] N$ definiert durch $f(0):=a$ sowie $f(1):=a$?
Betrachte mal B:=N.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > Ich hab jetzt gerade ein Problem beim wählen meines
> > Gegenbeispieles... also meistens sollte man das ja relativ
> > einfach wählen, die Mengen sollten hierbei nicht mehr als
> > ein paar Elemente haben.. ich bin mir nur gerade nicht
> > sicher, wie ich f(m) oder generell die Abbildung f dann
> > darstellen soll...
> Wie wäre es mit [mm]M=\{0,1\}[/mm], [mm]N=\{a,b\}[/mm] und [mm]f\colon M\to N[/mm]
> definiert durch [mm]f(0):=a[/mm] sowie [mm]f(1):=a[/mm]?
>
> Betrachte mal B:=N.
Okay, also wäre B:=N, dann wäre ja [mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] = [mm] f(f^{-1}( [/mm] {a,b} )), oder?
[mm] f^{-1}(B) [/mm] ist ja die Abbildung zwischen den Potenzmengen von N [mm] \to [/mm] M, richtig? Die Potenzmenge enthältja mehr Elemente als die Menge selbst (macht das Sinn??), also [mm] \mathcal{P}(B) [/mm] := { [mm] \emptyset, [/mm] a, b, ab} .. aber irgendwie hab ich gerade das Gefühl, dass ich genau in die falsche Richtung arbeite. So wie ich das jetzt hingeschrieben hab wäre B ja doch eine Teilmenge von [mm] f(f^{-1}(B)).. [/mm] was mach ich falsch?
Grüße,
apple314
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Wie wäre es mit [mm]M=\{0,1\}[/mm], [mm]N=\{a,b\}[/mm] und [mm]f\colon M\to N[/mm]
> > definiert durch [mm]f(0):=a[/mm] sowie [mm]f(1):=a[/mm]?
> >
> > Betrachte mal B:=N.
>
> Okay, also wäre B:=N, dann wäre ja [mm]f(f^{-1}(B))[/mm] =
> [mm]f(f^{-1}([/mm] {a,b} )), oder?
Genau. Als nächstes [mm] $f^{-1}(\{a,b\})$ [/mm] bestimmen.
> [mm]f^{-1}(B)[/mm] ist ja die Abbildung zwischen den Potenzmengen
> von N [mm]\to[/mm] M, richtig?
[mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] $M=\{0,1\}$.
[/mm]
(Die Abbildung [mm] $B'\mapsto f^{-1}(B')$ [/mm] wäre eine Abbildung von der Potenzmenge von N in die Potenzmenge von M.)
> Die Potenzmenge enthältja mehr
> Elemente als die Menge selbst (macht das Sinn??),
Nicht für diese Aufgabe, aber es stimmt.
> also
> [mm]\mathcal{P}(B)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$ [mm]\emptyset,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
a, b, ab$\}$..
Die Mengenklammern nicht vergessen: $\mathcal{P}(B)=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$.
> aber irgendwie
> hab ich gerade das Gefühl, dass ich genau in die falsche
> Richtung arbeite. So wie ich das jetzt hingeschrieben hab
> wäre B ja doch eine Teilmenge von [mm]f(f^{-1}(B))..[/mm]
Nein.
> was mach
> ich falsch?
Du versäumst, [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] (und danach [mm] $f(f^{-1}(B))$) [/mm] zu bestimmen... 
Wie ist [mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] definiert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > > Wie wäre es mit [mm]M=\{0,1\}[/mm], [mm]N=\{a,b\}[/mm] und [mm]f\colon M\to N[/mm]
> > > definiert durch [mm]f(0):=a[/mm] sowie [mm]f(1):=a[/mm]?
> > >
> > > Betrachte mal B:=N.
> >
> > Okay, also wäre B:=N, dann wäre ja [mm]f(f^{-1}(B))[/mm] =
> > [mm]f(f^{-1}([/mm] {a,b} )), oder?
> Genau. Als nächstes [mm]f^{-1}(\{a,b\})[/mm] bestimmen.
>
> > [mm]f^{-1}(B)[/mm] ist ja die Abbildung zwischen den Potenzmengen
> > von N [mm]\to[/mm] M, richtig?
> [mm]f^{-1}(B)[/mm] ist eine Teilmenge von [mm]M=\{0,1\}[/mm].
>
> (Die Abbildung [mm]B'\mapsto f^{-1}(B')[/mm] wäre eine Abbildung
> von der Potenzmenge von N in die Potenzmenge von M.)
>
> > Die Potenzmenge enthältja mehr
> > Elemente als die Menge selbst (macht das Sinn??),
> Nicht für diese Aufgabe, aber es stimmt.
>
> > also
> > [mm]\mathcal{P}(B)[/mm] := [mm]\{[/mm] [mm]\emptyset,[/mm] a, b, ab[mm]\}[/mm]..
> Die Mengenklammern nicht vergessen:
> [mm]\mathcal{P}(B)=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}[/mm].
>
> > aber irgendwie
> > hab ich gerade das Gefühl, dass ich genau in die falsche
> > Richtung arbeite. So wie ich das jetzt hingeschrieben hab
> > wäre B ja doch eine Teilmenge von [mm]f(f^{-1}(B))..[/mm]
> Nein.
>
> > was mach
> > ich falsch?
> Du versäumst, [mm]f^{-1}(B)[/mm] (und danach [mm]f(f^{-1}(B))[/mm]) zu
> bestimmen...
>
> Wie ist [mm]f^{-1}(B)[/mm] definiert?
[mm] f^{-1}(B) [/mm] := {m [mm] \in [/mm] M | f(m) [mm] \in [/mm] B}
da ich ja für [mm] f^{-1}( [/mm] {a,b} ) definiere wäre das dann
[mm] f^{-1}( [/mm] {a,b} := {0,1,a} ? Da ja vorher für f(0) := a und f(1) := a definiert wurde.
Und danach müsste ich dann [mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] definieren, also f( {0,1,a} ) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Du versäumst, [mm]f^{-1}(B)[/mm] (und danach [mm]f(f^{-1}(B))[/mm]) zu
> > bestimmen...
> >
> > Wie ist [mm]f^{-1}(B)[/mm] definiert?
>
>
> [mm]f^{-1}(B)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$m [mm]\in[/mm] M | f(m) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$
>
> da ich ja für [mm]f^{-1}([/mm] {a,b} ) definiere wäre das dann
>
> [mm]f^{-1}([/mm] {a,b} := {0,1,a} ? Da ja vorher für f(0) := a und
> f(1) := a definiert wurde.
[mm] $f^{-1}(B)$ [/mm] kann nur Elemente von [mm] $M=\{0,1\}$ [/mm] enthalten.
Wegen [mm] $f(0)=a\in\{a,b\}$ [/mm] und [mm] $f(1)=a\in\{a,b\}$ [/mm] enthält [mm] $f^{-1}(\{a,b\})$ [/mm] die Elemente 0 und 1 (also alle Elemente von M).
Also insgesamt [mm] $f^{-1}(B)=\{0,1\}$.
[/mm]
> Und danach müsste ich dann [mm]f(f^{-1}(B))[/mm] definieren, also
> f( {0,1,a} ) ?
Bis auf den Fehler bei der Bestimmung von [mm] $f^{-1}(B)$: [/mm] Ja. Bestimme [mm] $f(\{0,1\})$ [/mm] mithilfe von dessen Definition.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > > Du versäumst, [mm]f^{-1}(B)[/mm] (und danach [mm]f(f^{-1}(B))[/mm]) zu
> > > bestimmen...
> > >
> > > Wie ist [mm]f^{-1}(B)[/mm] definiert?
> >
> >
> > [mm]f^{-1}(B)[/mm] := [mm]\{[/mm]m [mm]\in[/mm] M | f(m) [mm]\in[/mm] B[mm]\}[/mm]
>
>
> >
> > da ich ja für [mm]f^{-1}([/mm] {a,b} ) definiere wäre das dann
> >
> > [mm]f^{-1}([/mm] {a,b} := {0,1,a} ? Da ja vorher für f(0) := a und
> > f(1) := a definiert wurde.
> [mm]f^{-1}(B)[/mm] kann nur Elemente von [mm]M=\{0,1\}[/mm] enthalten.
>
> Wegen [mm]f(0)=a\in\{a,b\}[/mm] und [mm]f(1)=a\in\{a,b\}[/mm] enthält
> [mm]f^{-1}(\{a,b\})[/mm] die Elemente 0 und 1 (also alle Elemente
> von M).
>
> Also insgesamt [mm]f^{-1}(B)=\{0,1\}[/mm].
>
> > Und danach müsste ich dann [mm]f(f^{-1}(B))[/mm] definieren, also
> > f( {0,1,a} ) ?
> Bis auf den Fehler bei der Bestimmung von [mm]f^{-1}(B)[/mm]: Ja.
> Bestimme [mm]f(\{0,1\})[/mm] mithilfe von dessen Definition.
Die Definition von f(0) := a und f(1):= a bedeutet dann für f({0,1}) := {a} ?
Dann wäre B keine Teilmenge von [mm] f(f^{-1}(B)), [/mm] da B:= N := {a,b} ist und [mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] := {a} ist
Und so kann ich dann in b) zeigen, dass bei einer surjektiven Abbildung f auch die umgekehrte Inklusion gilt) Wenn zB f(0) :=a und f(1):= b wäre? Dann wäre [mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] := {a,b} und B:= {a,b} und somit wären beide Mengen gleich. Könnte ich dann hier für M:= {0,1} auch M:={x,y} setzen, damit das ganze allgemein Formuliert wäre und für jedes x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt? Oder reicht das nicht als Beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Die Definition von f(0) := a und f(1):= a bedeutet dann
> für f({0,1}) := {a} ?
Genau.
> Dann wäre B keine Teilmenge von [mm]f(f^{-1}(B)),[/mm] da B:= N :=
> {a,b} ist und [mm]f(f^{-1}(B))[/mm] := {a} ist
Ebenfalls völlig richtig.
":=" bedeutet übrigens, dass die linke Seite definiert wird durch die rechte Seite. Z.B. bei [mm] $f(f^{-1}(B))=\{a\}$ [/mm] sollte ein gewöhnliches "=" stehen.
> Und so kann ich dann in b) zeigen, dass bei einer
> surjektiven Abbildung f auch die umgekehrte Inklusion gilt)
> Wenn zB f(0) :=a und f(1):= b wäre? Dann wäre
> [mm]f(f^{-1}(B))[/mm] := {a,b} und B:= {a,b} und somit wären beide
> Mengen gleich. Könnte ich dann hier für M:= {0,1} auch
> M:={x,y} setzen, damit das ganze allgemein Formuliert wäre
> und für jedes x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt? Oder reicht das nicht als
> Beweis?
Leider nein. M und N müssen ja nicht zweielementig sein.
Sei f also surjektiv.
Sei [mm] $n\in [/mm] B$. Zu zeigen ist, dass [mm] $n\in f(f^{-1}(B))$ [/mm] gilt.
Die Surjektivität von f angewandt auf $n$ liefert die Existenz eines...
(Hinterher die andere Richtung nicht vergessen: Wenn [mm] $f(f^{-1}(B))=B$ [/mm] für alle [mm] $B\subseteq [/mm] N$ gilt, ist f surjektiv.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > Die Definition von f(0) := a und f(1):= a bedeutet dann
> > für f({0,1}) := {a} ?
> Genau.
>
> > Dann wäre B keine Teilmenge von [mm]f(f^{-1}(B)),[/mm] da B:= N :=
> > {a,b} ist und [mm]f(f^{-1}(B))[/mm] := {a} ist
> Ebenfalls völlig richtig.
>
> ":=" bedeutet übrigens, dass die linke Seite definiert
> wird durch die rechte Seite. Z.B. bei [mm]f(f^{-1}(B))=\{a\}[/mm]
> sollte ein gewöhnliches "=" stehen.
>
>
> > Und so kann ich dann in b) zeigen, dass bei einer
> > surjektiven Abbildung f auch die umgekehrte Inklusion gilt)
> > Wenn zB f(0) :=a und f(1):= b wäre? Dann wäre
> > [mm]f(f^{-1}(B))[/mm] := {a,b} und B:= {a,b} und somit wären beide
> > Mengen gleich. Könnte ich dann hier für M:= {0,1} auch
> > M:={x,y} setzen, damit das ganze allgemein Formuliert wäre
> > und für jedes x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt? Oder reicht das nicht als
> > Beweis?
> Leider nein. M und N müssen ja nicht zweielementig sein.
>
> Sei f also surjektiv.
> Sei [mm]n\in B[/mm]. Zu zeigen ist, dass [mm]n\in f(f^{-1}(B))[/mm] gilt.
> Die Surjektivität von f angewandt auf [mm]n[/mm] liefert die
> Existenz eines...
>
>
> (Hinterher die andere Richtung nicht vergessen: Wenn
> [mm]f(f^{-1}(B))=B[/mm] für alle [mm]B\subseteq N[/mm] gilt, ist f
> surjektiv.)
Mh, also wenn f surjektiv ist, dann bedeutet das ja dass für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] |f^{-1}( [/mm] {n} )| [mm] \ge [/mm] 1, also dass es halt höchstens ein m mit f(m) = n gibt.. Das bedeutet dann ja quasi das, was ich an den zweielementigen Mengen veranschaulichen wollte.. Egal wieviele Elemente in den Mengen vorhanden sind, da es für jedes m [mm] \in [/mm] M nur ein f(m) = n geben kann, gilt doch immer [mm] f(f^{-1}(B))=B, [/mm] oder nicht?? Aber wie drücke ich das formal aus? :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Mh, also wenn f surjektiv ist, dann bedeutet das ja dass
> für jedes n [mm]\in \IN[/mm] gilt [mm]|f^{-1}([/mm] {n} )| [mm]\ge[/mm] 1, also dass
> es halt höchstens mindestens ein m mit f(m) = n gibt.. Das bedeutet
> dann ja quasi das, was ich an den zweielementigen Mengen
> veranschaulichen wollte.. Egal wieviele Elemente in den
> Mengen vorhanden sind, da es für jedes m [mm]\in[/mm] M nur ein
> f(m) = n geben kann,
Letzteres gilt für jede Funktion, nicht nur für surjektive.
> gilt doch immer [mm]f(f^{-1}(B))=B,[/mm] oder
> nicht?? Aber wie drücke ich das formal aus? :D
> > Sei f also surjektiv.
> > Sei [mm]n\in B[/mm]. Zu zeigen ist, dass [mm]n\in f(f^{-1}(B))[/mm]
> gilt.
D.h. (wegen [mm] $f(f^{-1}(B))=\{f(m)\;|\;m\in f^{-1}(B)\}=\{n\in N\;|\;\exists m\in f^{-1}(B)\colon f(m)=n\}$) [/mm] zu zeigen ist die Existenz eines [mm] $m\in f^{-1}(B)$ [/mm] mit f(m)=n.
> > Die Surjektivität von f angewandt auf [mm]n[/mm] liefert die
> > Existenz eines...
[mm] ...$m\in [/mm] M$ mit $f(m)=n$. Zeige: [mm] $m\in f^{-1}(B)$.
[/mm]
Somit [mm] $n=f(m)\in f(f^{-1}(B))$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > Mh, also wenn f surjektiv ist, dann bedeutet das ja dass
> > für jedes n [mm]\in \IN[/mm] gilt [mm]|f^{-1}([/mm] {n} )| [mm]\ge[/mm] 1, also dass
> > es halt höchstens mindestens ein m mit f(m) = n gibt.. Das
> bedeutet
> > dann ja quasi das, was ich an den zweielementigen Mengen
> > veranschaulichen wollte.. Egal wieviele Elemente in den
> > Mengen vorhanden sind, da es für jedes m [mm]\in[/mm] M nur ein
> > f(m) = n geben kann,
> Letzteres gilt für jede Funktion, nicht nur für
> surjektive.
>
> > gilt doch immer [mm]f(f^{-1}(B))=B,[/mm] oder
> > nicht?? Aber wie drücke ich das formal aus? :D
>
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> > > Sei f also surjektiv.
> > > Sei [mm]n\in B[/mm]. Zu zeigen ist, dass [mm]n\in f(f^{-1}(B))[/mm]
> > gilt.
> D.h. (wegen [mm]f(f^{-1}(B))=\{f(m)\;|\;m\in f^{-1}(B)\}=\{n\in N\;|\;\exists m\in f^{-1}(B)\colon f(m)=n\}[/mm])
> zu zeigen ist die Existenz eines [mm]m\in f^{-1}(B)[/mm] mit
> f(m)=n.
> > > Die Surjektivität von f angewandt auf [mm]n[/mm] liefert die
> > > Existenz eines...
> ...[mm]m\in M[/mm] mit [mm]f(m)=n[/mm]. Zeige: [mm]m\in f^{-1}(B)[/mm].
> Somit
> [mm]n=f(m)\in f^{-1}(B)[/mm].
Durch die Definition [mm] f^{-1}(B) [/mm] := {m [mm] \in [/mm] M | f(m) [mm] \in [/mm] B} wird doch schon gezeogt, dass m [mm] \in f^{-1}(B) [/mm] liegt, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > > > Sei f also surjektiv.
> > > > Sei [mm]n\in B[/mm]. Zu zeigen ist, dass [mm]n\in f(f^{-1}(B))[/mm]
> > > gilt.
> > D.h. (wegen [mm]f(f^{-1}(B))=\{f(m)\;|\;m\in f^{-1}(B)\}=\{n\in N\;|\;\exists m\in f^{-1}(B)\colon f(m)=n\}[/mm])
> > zu zeigen ist die Existenz eines [mm]m\in f^{-1}(B)[/mm] mit
> > f(m)=n.
> > > > Die Surjektivität von f angewandt auf [mm]n[/mm] liefert
> die
> > > > Existenz eines...
> > ...[mm]m\in M[/mm] mit [mm]f(m)=n[/mm]. Zeige: [mm]m\in f^{-1}(B)[/mm].
> > Somit
> > [mm]n=f(m)\in \red{f(}f^{-1}(B)\red{)}[/mm].
Mit dem rot markierten musste ich mich selbst korrigieren...
>
> Durch die Definition [mm]f^{-1}(B)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$m [mm]\in[/mm] M | f(m) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$
> wird doch schon gezeogt, dass m [mm]\in f^{-1}(B)[/mm] liegt, oder?
Ja, wegen [mm] $f(m)=n\in [/mm] B$.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > > > > Sei f also surjektiv.
> > > > > Sei [mm]n\in B[/mm]. Zu zeigen ist, dass [mm]n\in f(f^{-1}(B))[/mm]
> > > > gilt.
> > > D.h. (wegen [mm]f(f^{-1}(B))=\{f(m)\;|\;m\in f^{-1}(B)\}=\{n\in N\;|\;\exists m\in f^{-1}(B)\colon f(m)=n\}[/mm])
> > > zu zeigen ist die Existenz eines [mm]m\in f^{-1}(B)[/mm] mit
> > > f(m)=n.
> > > > > Die Surjektivität von f angewandt auf [mm]n[/mm]
> liefert
> > die
> > > > > Existenz eines...
> > > ...[mm]m\in M[/mm] mit [mm]f(m)=n[/mm]. Zeige: [mm]m\in f^{-1}(B)[/mm].
> > >
> Somit
> > > [mm]n=f(m)\in \red{f(}f^{-1}(B)\red{)}[/mm].
> Mit dem rot
> markierten musste ich mich selbst korrigieren...
> >
> > Durch die Definition [mm]f^{-1}(B)[/mm] := [mm]\{[/mm]m [mm]\in[/mm] M | f(m) [mm]\in[/mm] B[mm]\}[/mm]
> > wird doch schon gezeogt, dass m [mm]\in f^{-1}(B)[/mm] liegt, oder?
> Ja, wegen [mm]f(m)=n\in B[/mm].
Öh okay, bedeutet das dann, dass mti den Ausführungen oben die Aufgabe quasi schon gelöst ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Öh okay, bedeutet das dann, dass mti den Ausführungen
> oben die Aufgabe quasi schon gelöst ist?
Damit ist die eine Richtung von b) gezeigt.
Noch zu zeigen ist, dass im Falle [mm] $f(f^{-1}(B))=B$ [/mm] für alle [mm] $B\subseteq [/mm] N$ die Abbildung f surjektiv ist.
Betrachte dazu speziell $B:=N$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > Öh okay, bedeutet das dann, dass mti den Ausführungen
> > oben die Aufgabe quasi schon gelöst ist?
> Damit ist die eine Richtung von b) gezeigt.
>
>
> Noch zu zeigen ist, dass im Falle [mm]f(f^{-1}(B))=B[/mm] für alle
> [mm]B\subseteq N[/mm] die Abbildung f surjektiv ist.
>
> Betrachte dazu speziell [mm]B:=N[/mm].
Ich hab dann also B:= N = [mm] f(f^{-1}(B)), [/mm] da ja [mm] f(f^{-1}(B))=B [/mm] gelten soll.
Ich dachte jetzt ich schau mir [mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] nochmal genauer an... da [mm] f^{-1}(B) [/mm] := {m [mm] \in [/mm] M| f(m) [mm] \in [/mm] B} ist hätte ich also für [mm] f(f^{-1}(B)) [/mm] = f( {m [mm] \in [/mm] M| f(m) [mm] \in [/mm] B} )
uuund das wäre dann := {f(m) | m [mm] \in [/mm] B} und damit f(m) = n [mm] \in [/mm] N gelten kann, da ja f(m) [mm] \in [/mm] B liegen soll, müsste f surjektiv sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Noch zu zeigen ist, dass im Falle [mm]f(f^{-1}(B))=B[/mm] für alle
> > [mm]B\subseteq N[/mm] die Abbildung f surjektiv ist.
> >
> > Betrachte dazu speziell [mm]B:=N[/mm].
>
> Ich hab dann also B:= N = [mm]f(f^{-1}(B)),[/mm] da ja
> [mm]f(f^{-1}(B))=B[/mm] gelten soll.
>
> Ich dachte jetzt ich schau mir [mm]f(f^{-1}(B))[/mm] nochmal genauer
> an... da [mm]f^{-1}(B)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$m [mm]\in[/mm] M| f(m) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$
= $\{$m [mm]\in[/mm] M| f(m) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N$\}$ = M
(Denn für ALLE $m\in M$ gilt wegen $f\colon M\to N$, dass $f(m)\in N$.)
> ist hätte ich
> also für [mm]f(f^{-1}(B))[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= f( $\{$m [mm]\in[/mm] M| f(m) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$ )
> uuund das wäre dann := $\{$f(m) | $\red{m\in M}$ mit $\red{f(}$m$\red{)}$ [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$
> und damit f(m) =
> n [mm]\in[/mm] N gelten kann, da ja f(m) [mm]\in[/mm] B liegen soll, müsste
> f surjektiv sein.
[mm] $f(m)\in [/mm] N$ für alle [mm] $m\in [/mm] M$ gilt für JEDE Abbildung [mm] $f\colon M\to [/mm] N$, nicht nur im Falle f surjektiv.
Um die Surjektivität von f nachzuweisen, nimm ein beliebig vorgegebenes Element [mm] $n\in [/mm] N$ und konstruiere ein [mm] $m\in [/mm] M$ mit $f(m)=n$.
Wegen [mm] $n\in N=f(f^{-1}(N))$ [/mm] existiert ein...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > > Noch zu zeigen ist, dass im Falle [mm]f(f^{-1}(B))=B[/mm] für alle
> > > [mm]B\subseteq N[/mm] die Abbildung f surjektiv ist.
> > >
> > > Betrachte dazu speziell [mm]B:=N[/mm].
> >
> > Ich hab dann also B:= N = [mm]f(f^{-1}(B)),[/mm] da ja
> > [mm]f(f^{-1}(B))=B[/mm] gelten soll.
> >
> > Ich dachte jetzt ich schau mir [mm]f(f^{-1}(B))[/mm] nochmal genauer
> > an... da [mm]f^{-1}(B)[/mm] := [mm]\{[/mm]m [mm]\in[/mm] M| f(m) [mm]\in[/mm] B[mm]\}[/mm]
> = [mm]\{[/mm]m [mm]\in[/mm] M| f(m) [mm]\in[/mm] N[mm]\}[/mm] = M
> (Denn für ALLE [mm]m\in M[/mm] gilt wegen [mm]f\colon M\to N[/mm], dass
> [mm]f(m)\in N[/mm].)
>
> > ist hätte ich
> > also für [mm]f(f^{-1}(B))[/mm] = f( [mm]\{[/mm]m [mm]\in[/mm] M| f(m) [mm]\in[/mm] B[mm]\}[/mm] )
> > uuund das wäre dann := [mm]\{[/mm]f(m) | [mm]\red{m\in M}[/mm] mit
> [mm]\red{f(}[/mm]m[mm]\red{)}[/mm] [mm]\in[/mm] B[mm]\}[/mm]
>
> > und damit f(m) =
> > n [mm]\in[/mm] N gelten kann, da ja f(m) [mm]\in[/mm] B liegen soll, müsste
> > f surjektiv sein.
> [mm]f(m)\in N[/mm] für alle [mm]m\in M[/mm] gilt für JEDE Abbildung
> [mm]f\colon M\to N[/mm], nicht nur im Falle f surjektiv.
>
>
> Um die Surjektivität von f nachzuweisen, nimm ein beliebig
> vorgegebenes Element [mm]n\in N[/mm] und konstruiere ein [mm]m\in M[/mm] mit
> [mm]f(m)=n[/mm].
>
> Wegen [mm]n\in N=f(f^{-1}(N))[/mm] existiert ein...
... naja. ein [mm] f(m)\in N=f(f^{-1}(N)), [/mm] wenn n= f(m) gilt.. aber ich versteh nicht so ganz, wie mich das jetzt in der Sache weiterbringt. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Um die Surjektivität von f nachzuweisen, nimm ein beliebig
> > vorgegebenes Element [mm]n\in N[/mm] und konstruiere ein [mm]m\in M[/mm] mit
> > [mm]f(m)=n[/mm].
> >
> > Wegen [mm]n\in N=f(f^{-1}(N))[/mm] existiert ein...
>
>
> ... naja. ein [mm]f(m)\in N=f(f^{-1}(N)),[/mm] wenn n= f(m) gilt..
Wegen [mm] $n\in f(f^{-1}(N))$ [/mm] existiert ein [mm] $m\in f^{-1}(N)$ [/mm] mit $n=f(m)$. Vielleicht meintest du das.
Insbesondere [mm] $m\in [/mm] M$. Also haben wir ein [mm] $m\in [/mm] M$ mit $f(m)=n$ gefunden.
Da n beliebig vorgegeben war, gibt es also für ALLE [mm] $n\in [/mm] N$ ein [mm] $m\in [/mm] M$ mit $f(m)=n$.
Also ist f surjektiv.
Das Wichtige ist, sich klarzumachen, was eigentlich zu tun ist.
Surjektivität von f heißt: Für alle [mm] $n\in [/mm] N$ gibt es ein [mm] $m\in [/mm] M$ mit $f(m)=n$.
Um sie nachzuweisen, nimmt man also ein beliebig vorgegebenes [mm] $n\in [/mm] N$ und konstruiert ein [mm] $m\in [/mm] M$ mit $f(m)=n$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > > Um die Surjektivität von f nachzuweisen, nimm ein beliebig
> > > vorgegebenes Element [mm]n\in N[/mm] und konstruiere ein [mm]m\in M[/mm] mit
> > > [mm]f(m)=n[/mm].
> > >
> > > Wegen [mm]n\in N=f(f^{-1}(N))[/mm] existiert ein...
> >
> >
> > ... naja. ein [mm]f(m)\in N=f(f^{-1}(N)),[/mm] wenn n= f(m) gilt..
> Wegen [mm]n\in f(f^{-1}(N))[/mm] existiert ein [mm]m\in f^{-1}(N)[/mm] mit
> [mm]n=f(m)[/mm]. Vielleicht meintest du das.
>
> Insbesondere [mm]m\in M[/mm]. Also haben wir ein [mm]m\in M[/mm] mit [mm]f(m)=n[/mm]
> gefunden.
>
> Da n beliebig vorgegeben war, gibt es also für ALLE [mm]n\in N[/mm]
> ein [mm]m\in M[/mm] mit [mm]f(m)=n[/mm].
>
> Also ist f surjektiv.
>
>
> Das Wichtige ist, sich klarzumachen, was eigentlich zu tun
> ist.
> Surjektivität von f heißt: Für alle [mm]n\in N[/mm] gibt es ein
> [mm]m\in M[/mm] mit [mm]f(m)=n[/mm].
> Um sie nachzuweisen, nimmt man also ein beliebig
> vorgegebenes [mm]n\in N[/mm] und konstruiert ein [mm]m\in M[/mm] mit [mm]f(m)=n[/mm].
Jaa... das mit dem klarmachen ist so 'ne Sache..
Kann ich das dann in Aufgabenteil c) analog lösen? ALso ich hab ja zu beweisen:
[mm] f^{-1}(f(A)) \supseteq [/mm] A
f(A) := { f(a) | a [mm] \in [/mm] A} ( [mm] \subseteq [/mm] N)
[mm] f^{-1}(f(A)) [/mm] := {n [mm] \in [/mm] N| f(n) [mm] \in [/mm] f(A)}
Und dann sei m [mm] \in f^{-1}(f(A))
[/mm]
Dann m = f(n) für n [mm] \in [/mm] f(A) := {a [mm] \in [/mm] A}
Da n [mm] \in [/mm] f(A) und f(n) = m und m [mm] \in f^{-1}(f(A)) [/mm] ist, ist auch m [mm] \in [/mm] A? Und daher A [mm] \subseteq f^{-1}(f(A))?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Starte mit einem beliebig vorgegebenen [mm]a\in A[/mm]. Zu zeigen
> > ist: [mm]a\in f^{-1}(f(A))[/mm], d.h. ...
>
>
> dh... f(a) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f(A) ? Und nach Definition von f(A) :=
> $\{$f(a) | a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A$\}$ wäre das ja bereits gegeben?
Haargenau!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > > Starte mit einem beliebig vorgegebenen [mm]a\in A[/mm]. Zu zeigen
> > > ist: [mm]a\in f^{-1}(f(A))[/mm], d.h. ...
> >
> >
> > dh... f(a) [mm]\in[/mm] f(A) ? Und nach Definition von f(A) :=
> > [mm]\{[/mm]f(a) | a [mm]\in[/mm] A[mm]\}[/mm] wäre das ja bereits gegeben?
> Haargenau!
>
Oh shit! Zeit für einen Freudentanz! :D Und das mit der umgekehrten Inklusion.. da verwende ich einfach wieder solche simplen Beispielmengen und finde einen Gegenbeweis?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Oh shit! Zeit für einen Freudentanz! :D
Den hast du dir verdient!
> Und das mit der
> umgekehrten Inklusion.. da verwende ich einfach wieder
> solche simplen Beispielmengen und finde einen Gegenbeweis?
Ja. Nur $A=M$ wird es diesmal nicht tuen. Wähle ein anderes A.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > Oh shit! Zeit für einen Freudentanz! :D
> Den hast du dir verdient!
>
>
> > Und das mit der
> > umgekehrten Inklusion.. da verwende ich einfach wieder
> > solche simplen Beispielmengen und finde einen Gegenbeweis?
> Ja. Nur [mm]A=M[/mm] wird es diesmal nicht tuen. Wähle ein anderes
> A.
Ok, also ich wähle mir einfach mal M:= {0,1,2} und N:= {a,b,c,d}. Da A [mm] \subseteq [/mm] M ist, wähle ich für A:={0,1}.
für f: M [mm] \to [/mm] N definiere ich f(0):=a, f(1):=b und f(2):=d.
Nun ist f injektiv, da jedem Element aus der "linken" nur höchstens ein Element aus der "rechten" Menge zugewiesen wurde.
Also schreibe ich:
f(A) := {f(a) | a [mm] \in [/mm] A}
:= {a,b} (da A:={0,1} und f(0):= a und f(1):=b gilt)
[mm] f^{-1}(f(A)) [/mm] := {m [mm] \in [/mm] M| f(m) [mm] \in [/mm] A}
aber ich hab irgendwie das Gefühl, dass das da oben jetzt nicht ganz stimmt.. denn von den f(m) liegt keines in A. [mm] o_o
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 So 04.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ok, also ich wähle mir einfach mal M:= {0,1,2} und N:=
> {a,b,c,d}. Da A [mm]\subseteq[/mm] M ist, wähle ich für A:={0,1}.
>
> für f: M [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
N definiere ich f(0):=a, f(1):=b und
> f(2):=d.
> Nun ist f injektiv, da jedem Element aus der "linken" nur
> höchstens ein Element aus der "rechten" Menge zugewiesen
> wurde.
Umgekehrt: f ist injektiv, weil jedem Element aus der rechten Menge höchstens ein Element aus der linken Menge zugewiesen wird.
(Jede Abbildung f ordnet jedem Element aus der linken Menge genau ein Element aus der rechten Menge zu.)
Dass du f als injektiv gewählt hast, ist schlecht. Denn für injektive Abbildungen gilt gemäß d) $f^{-1}(f(A))=A$. Du suchst ja gerade ein Gegenbeispiel für diese Gleichheit.
Ändere also f ein wenig ab, so dass f nicht mehr injektiv ist.
> Also schreibe ich:
> f(A) := $\{$f(a) | a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A$\}$
> := $\{$a,b$\}$ (da A:=$\{$0,1$\}$ und f(0):= a und f(1):=b
> gilt)
Schön!
> [mm]f^{-1}(f(A))[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$m [mm]\in[/mm] M| f(m) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\red{f(}$A$\red{)}$$\}$
$=\{m\in M\;|\;f(m)\in\{a,b\}\}=\{0,1\}=A$
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 04.11.2012 | | Autor: | apple314 |
> > Ok, also ich wähle mir einfach mal M:= {0,1,2} und N:=
> > {a,b,c,d}. Da A [mm]\subseteq[/mm] M ist, wähle ich für A:={0,1}.
> >
> > für f: M [mm]\to[/mm] N definiere ich f(0):=a, f(1):=b und
> > f(2):=d.
> > Nun ist f injektiv, da jedem Element aus der "linken"
> nur
> > höchstens ein Element aus der "rechten" Menge zugewiesen
> > wurde.
> Umgekehrt: f ist injektiv, weil jedem Element aus der
> rechten Menge höchstens ein Element aus der linken Menge
> zugewiesen wird.
> (Jede Abbildung f ordnet jedem Element aus der linken
> Menge genau ein Element aus der rechten Menge zu.)
>
> Dass du f als injektiv gewählt hast, ist schlecht. Denn
> für injektive Abbildungen gilt gemäß d) [mm]f^{-1}(f(A))=A[/mm].
> Du suchst ja gerade ein Gegenbeispiel für diese
> Gleichheit.
>
> Ändere also f ein wenig ab, so dass f nicht mehr injektiv
> ist.
>
>
> > Also schreibe ich:
> > f(A) := [mm]\{[/mm]f(a) | a [mm]\in[/mm] A[mm]\}[/mm]
> > := [mm]\{[/mm]a,b[mm]\}[/mm] (da A:=[mm]\{[/mm]0,1[mm]\}[/mm] und f(0):= a und
> f(1):=b
> > gilt)
> Schön!
>
> > [mm]f^{-1}(f(A))[/mm] := [mm]\{[/mm]m [mm]\in[/mm] M| f(m) [mm]\in[/mm] [mm]\red{f(}[/mm]A[mm]\red{)}[/mm][mm]\}[/mm]
> [mm]=\{m\in M\;|\;f(m)\in\{a,b\}\}=\{0,1\}=A[/mm]
Ah, mist.. okay.
Könnte ich fann f: M [mm] \to [/mm] N so definieren:
f(0):= a, f(0):=b, f(1):=c, f(2):=d oder verwechsel ich da wieder was?
dann wäre f(A) := {a,b,c}
und [mm] f^{-1} [/mm] ... wieder {0,1}? Das will ich doch eigentlich nicht, oder? :D
Kann ich dann theoretisch das, was ich in c) "falsch" gemacht habe benutzen um eine Begründung für d) zu schreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 Mo 05.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Könnte ich fann f: M [mm]\to[/mm] N so definieren:
>
> f(0):= a, f(0):=b, f(1):=c, f(2):=d oder verwechsel ich da
> wieder was?
Leider in der Tat. Es kann doch nicht gleichzeitig f(0)=a und f(0)=b sein.(Wir setzen natürlich stillschweigend voraus, dass a,b,c und d verschiedene Elemente von N bezeichnen.)
f ordnet als Abbildung jedem Element von M GENAU ein Element von N zu.
"f nicht injektiv" bedeutet, dass es ein Element von N gibt, dass mindestens zwei verschiedenen Elementen von M zugewiesen wird.
> Kann ich dann theoretisch das, was ich in c) "falsch"
> gemacht habe benutzen um eine Begründung für d) zu
> schreiben?
Sehe ich leider nicht direkt. Wir haben ja nur am Beispiel gesehen, dass die von dir angegebene injektive Funktion f für die von dir gewählte Menge A der Gleichung [mm] $f^{-1}(f(A))=A$ [/mm] genügt. Wir benötigen jedoch in d) eine allgemeine Argumentation für beliebiges injektives f.
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