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Urbild einer unstetigen Funkt. < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Urbild einer unstetigen Funkt.: Verständnisprobleme
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Mi 19.10.2011
Autor: KomplexKompliziert

Aufgabe
Sei f eine Abbildung von R nach R mit f(x)=1 für [mm] x\geq [/mm] 0 und f(x)=0, wenn x<0.
Wir haben folgendes aufgeschrieben, das ich absolut nicht kapiere:
[mm] f^{-1}((-2,2))=R [/mm]
[mm] f^{-1}((-2,1))=(-\infty,0) [/mm]
[mm] f^{-1}((0,1))=leere [/mm] Menge
[mm] f^{-1}((0,2))=[0,\infty) [/mm]

Hallo zusammen!
Ich stehe total auf dem Schlauch- wie komme ich bei der obigen Funktion vom Bild auf die Urbildwerte. Das verstehe ich gerade absolut nicht mehr...


        
Bezug
Urbild einer unstetigen Funkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:09 Mi 19.10.2011
Autor: fred97


> Sei f eine Abbildung von R nach R mit f(x)=1 für [mm]x\geq[/mm] 0
> und f(x)=0, wenn x<0.
>  Wir haben folgendes aufgeschrieben, das ich absolut nicht
> kapiere:
>  [mm]f^{-1}((-2,2))=R[/mm]
>  [mm]f^{-1}((-2,1))=(-\infty,0)[/mm]
>  [mm]f^{-1}((0,1))=leere[/mm] Menge
>  [mm]f^{-1}((0,2))=[0,\infty)[/mm]
>  Hallo zusammen!
>  Ich stehe total auf dem Schlauch- wie komme ich bei der
> obigen Funktion vom Bild auf die Urbildwerte. Das verstehe
> ich gerade absolut nicht mehr...

Z.B.: [mm]f^{-1}((-2,2))=\{x \in \IR: f(x) \in (-2,2)\}[/mm]

Da Deine Funktion f nur die Werte 0 und 1 annimmt , gilt:  f(x) [mm] \in [/mm] (-2,2) für jedes x [mm] \in \IR. [/mm]

Damit: [mm]f^{-1}((-2,2))=\{x \in \IR: f(x) \in (-2,2)\}= \IR[/mm]

Noch ein Beispiel:

[mm]f^{-1}((0,2))=\{x \in \IR: f(x) \in (0,2)\}[/mm]

Für jedes x [mm] \ge [/mm] 0 ist f(x)=1 [mm] \in(0,2) [/mm]

Für jedes x <0 ist f(x)=0 [mm] \notin [/mm] (0,2)

Fazit:   [mm]f^{-1}((0,2))=\{x \in \IR: f(x) \in (0,2)\}=\{x \in \IR: x \ge 0\}= [0, \infty)[/mm]

Ists jetzt  klar ?

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
Urbild einer unstetigen Funkt.: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Mi 19.10.2011
Autor: KomplexKompliziert

Aufgabe
[mm] \sgn(x):= \begin{cases} +1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases} [/mm]

So, ich habs meiner Ansicht jetzt kapiert...Aber zur Kontrolle hätte ich gern gewusst, ob das hier alles richtig ist

[mm] f^{-1}((-2,2))=\{x\in R|f(x)\in (-2,2)\}=R [/mm]
[mm] f^{-1}((-2,1))=\{x\in R|f(x)\in (-2,1)\}=(-\infty,0) [/mm]
[mm] f^{-1}((0,1))=\{x\in R|f(x)\in (0,1)\}=leere [/mm] Menge
[mm] f^{-1}((-1,0))=\{x\in R|f(x)\in (-1,0)\}=leere [/mm] Menge
[mm] f^{-1}((0,2))=\{x\in R|f(x)\in (0,2)\}=[0,\infty) [/mm]
[mm] f^{-1}((-1,1))=\{x\in R|f(x)\in (-1,1)\}=\{0\} [/mm]
[mm] f^{-1}((-0,5,0,5))=\{x\in R|f(x)\in (-0,5,0,5)\}=\{0\} [/mm]

Richtig?

Bezug
                        
Bezug
Urbild einer unstetigen Funkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Mi 19.10.2011
Autor: Helbig


> [mm]\sgn(x):= \begin{cases} +1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases}[/mm]
>  
> So, ich habs meiner Ansicht jetzt kapiert...Aber zur
> Kontrolle hätte ich gern gewusst, ob das hier alles
> richtig ist
>  
> [mm]f^{-1}((-2,2))=\{x\in R|f(x)\in (-2,2)\}=R[/mm]

Richtig.

>  
> [mm]f^{-1}((-2,1))=\{x\in R|f(x)\in (-2,1)\}=(-\infty,0)[/mm]

Falsch. Überprüfe für jeden der drei Funktionswerte $-1, 0, +1$, ob er in $(-2,1)$ liegt.
Wenn ja, gehören die zugehörigen $x$-Werte zur Menge [mm] $M=f^{-1}\bigl((-2,1)\bigr)$, [/mm] und wenn nein, dann nicht.
Also: Es ist [mm] $-1\in(-2,1)$ [/mm] und damit ist [mm] $(-\infty, 0)\subset [/mm] M$.
Es ist [mm] $0\in(-2,1)$ [/mm] und damit ist [mm] $0\in [/mm] M$.
Es ist [mm] $+1\notin(-2,1) [/mm] und damit liegt keines der Elemente von [mm] $(0,+\infty)$ [/mm] in [mm]M[/mm].
Also ist [mm] $M=(-\infty, [/mm] 0]$.

Ähnlich mit den anderen Beispielen...

>  
> [mm]f^{-1}((0,1))=\{x\in R|f(x)\in (0,1)\}=leere[/mm] Menge

Richtig.

>  [mm]f^{-1}((-1,0))=\{x\in R|f(x)\in (-1,0)\}=leere[/mm] Menge

Richtig.

>  [mm]f^{-1}((0,2))=\{x\in R|f(x)\in (0,2)\}=[0,\infty)[/mm]

Falsch. Welche Funktionswerte liegen in $(0,2)$?

>  
> [mm]f^{-1}((-1,1))=\{x\in R|f(x)\in (-1,1)\}=\{0\}[/mm]

Richtig.

>  
> [mm]f^{-1}((-0,5,0,5))=\{x\in R|f(x)\in (-0,5,0,5)\}=\{0\}[/mm]

Richtig.

OK?
Wolfgang


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