Urbild,Faser,Einschränkung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Di 19.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo zusammen^^
Wir haben uns folgendes zum Urbild aufgeschrieben:
Sei ycY (c steht für Teilmenge). Die Teilmenge {x [mm] \in [/mm] X|f(x) [mm] \in [/mm] y} von x heißt das Urbild von Y bezüglich f.
Ich bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstanden habe.Also wir haben zunächst eine Menge Y, die eine Teilmenge y hat.Diese Teilmenge y bestitzt alle Elemente aus der Menge X,die auch in Y enthalten sind und ist das Urbild von Y bezüglich f. Und Y ist die Bildmenge.
Stimmt das so?
Dann haben wir zur Faser aufgeschrieben:
Sei y [mm] \in [/mm] Y.Die Menge {x [mm] \in [/mm] X|f(x)=y} heißt die Faser von f über Y.
Wir haben wieder eine Menge Y und ein ( oder mehrere ?) Element(e) y aus der Menge Y.Dann ist die Menge aller Elemente der Menge X Faser von f über Y,wenn das Bild von x aus der Menge Y ist.
Ich versteh aber nicht,was der Unterschied zwischen f(x) [mm] \in [/mm] y und f(x)=y ist,weil oben stand f(x) [mm] \in [/mm] y und hier steht f(x)=y ?
lg
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Hallo Mandy,
das Zeichen für die Teilmenge $ [mm] \subset [/mm] $ machst du mit $ \subset $
Irgendwie hab' ich den Eindruck, dass hier ein paar Begriffe durcheinanderfliegen.
Du schreibst: Sei $ y [mm] \subset [/mm] Y $ ? Das macht doch keinen Sinn, falls $ y $ nicht weiter definiert ist.
Def.:
Sei $ f: X [mm] \to [/mm] Y $ eine Abbildung.
Die Menge $ f(X) := [mm] \{ f(x) : x \in X \} [/mm] $ ist das Bild von $ X $ unter $ f $. Es gilt stets $ f(X) [mm] \subseteq [/mm] Y $
Die Menge $ [mm] f^{-1}(Y) [/mm] := [mm] \{ x \in X : f(x) \in Y \} [/mm] $ ist das Urbild von $ X $ unter $ f $.
Da du nun weißt, was Surjektivität bedeutet:
$ f $ ist surjektiv $ [mm] \gdw [/mm] f(X) = Y $
Def.:
Die Menge $ [mm] \{ x \in X : f(x) = y \}$ [/mm] ist bei euch per Definition also ein Faser?
Das ist im Gegensatz zum Urbild einfach die Menge der Urbilder eines Elements.
Beispiel: $ f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^2 [/mm] $
Faser von $ f(x) = y = 4 $ ist die Menge $ [mm] \{-2, 2 \} [/mm] $
Viele Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:42 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Mandy,
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> das Zeichen für die Teilmenge [mm]\subset[/mm] machst du mit | 1: |
| | 2: | > [mm]\subset [/mm] |
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> Irgendwie hab' ich den Eindruck, dass hier ein paar
> Begriffe durcheinanderfliegen.
>
> Du schreibst: Sei [mm]y \subset Y[/mm] ? Das macht doch keinen Sinn,
> falls [mm]y[/mm] nicht weiter definiert ist.
>
> Def.:
>
> Sei [mm]f: X \to Y[/mm] eine Abbildung.
>
> Die Menge [mm]f(X) := \{ f(x) : x \in X \}[/mm] ist das Bild von [mm]X[/mm]
> unter [mm]f [/mm]. Es gilt stets [mm]f(X) \subseteq Y[/mm]
>
> Die Menge [mm]f^{-1}(X) := \{ x \in X : f(x) \in Y \}[/mm] ist das
> Urbild von [mm]X[/mm] unter [mm]f [/mm].
Hier hat Du Dich sicher verschrieben. Richtig:
[mm]f^{-1}(Y) := \{ x \in X : f(x) \in Y \}[/mm]
FRED
>
> Da du nun weißt, was Surjektivität bedeutet:
>
> [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\gdw f(X) = Y[/mm]
>
> Def.:
>
> Die Menge [mm]\{ x \in X : f(x) = y \}[/mm] ist bei euch per
> Definition also ein Faser?
>
> Das ist im Gegensatz zum Urbild einfach die Menge der
> Urbilder eines Elements.
>
> Beispiel: [mm]f: \IR \to \IR, x \mapsto x^2[/mm]
>
> Faser von [mm]f(x) = y = 4[/mm] ist die Menge [mm]\{-2, 2 \}[/mm]
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Mi 20.10.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
> >
> > Die Menge [mm]f^{-1}(X) := \{ x \in X : f(x) \in Y \}[/mm] ist das
> > Urbild von [mm]X[/mm] unter [mm]f [/mm].
>
>
> Hier hat Du Dich sicher verschrieben. Richtig:
>
> [mm]f^{-1}(Y) := \{ x \in X : f(x) \in Y \}[/mm]
>
> FRED
Du hast recht, vielen Dank!
Viele Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Mi 20.10.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo Mandy,
>
> das Zeichen für die Teilmenge [mm]\subset[/mm] machst du mit | 1: |
| | 2: | > [mm]\subset [/mm] |
>
> Irgendwie hab' ich den Eindruck, dass hier ein paar
> Begriffe durcheinanderfliegen.
>
> Du schreibst: Sei [mm]y \subset Y[/mm] ? Das macht doch keinen Sinn,
> falls [mm]y[/mm] nicht weiter definiert ist.
>
> Def.:
>
> Sei [mm]f: X \to Y[/mm] eine Abbildung.
>
> Die Menge [mm]f(X) := \{ f(x) : x \in X \}[/mm] ist das Bild von [mm]X[/mm]
> unter [mm]f [/mm]. Es gilt stets [mm]f(X) \subseteq Y[/mm]
>
> Die Menge [mm]f^{-1}(Y) := \{ x \in X : f(x) \in Y \}[/mm] ist das
> Urbild von [mm]X[/mm] unter [mm]f [/mm].
Steht [mm] f^{-1} [/mm] für die Umkehrabbildung oder hast hast du es einfach so für das Urbild benutzt?
>
> Da du nun weißt, was Surjektivität bedeutet:
>
> [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\gdw f(X) = Y[/mm]
>
> Def.:
>
> Die Menge [mm]\{ x \in X : f(x) = y \}[/mm] ist bei euch per
> Definition also ein Faser?
>
> Das ist im Gegensatz zum Urbild einfach die Menge der
> Urbilder eines Elements.
>
> Beispiel: [mm]f: \IR \to \IR, x \mapsto x^2[/mm]
>
> Faser von [mm]f(x) = y = 4[/mm] ist die Menge [mm]\{-2, 2 \}[/mm]
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mi 20.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo Mandy,
> >
> > das Zeichen für die Teilmenge [mm]\subset[/mm] machst du mit | 1: |
| | 2: | > > [mm]\subset [/mm] |
> >
> > Irgendwie hab' ich den Eindruck, dass hier ein paar
> > Begriffe durcheinanderfliegen.
> >
> > Du schreibst: Sei [mm]y \subset Y[/mm] ? Das macht doch keinen Sinn,
> > falls [mm]y[/mm] nicht weiter definiert ist.
> >
> > Def.:
> >
> > Sei [mm]f: X \to Y[/mm] eine Abbildung.
> >
> > Die Menge [mm]f(X) := \{ f(x) : x \in X \}[/mm] ist das Bild von [mm]X[/mm]
> > unter [mm]f [/mm]. Es gilt stets [mm]f(X) \subseteq Y[/mm]
> >
> > Die Menge [mm]f^{-1}(Y) := \{ x \in X : f(x) \in Y \}[/mm] ist das
> > Urbild von [mm]X[/mm] unter [mm]f [/mm].
>
> Steht [mm]f^{-1}[/mm] für die Umkehrabbildung oder hast hast du es
> einfach so für das Urbild benutzt?
nein, für die Umkehrabbildung steht das nicht. Eine solche muß es nicht geben
FRED
> >
> > Da du nun weißt, was Surjektivität bedeutet:
> >
> > [mm]f[/mm] ist surjektiv [mm]\gdw f(X) = Y[/mm]
> >
> > Def.:
> >
> > Die Menge [mm]\{ x \in X : f(x) = y \}[/mm] ist bei euch per
> > Definition also ein Faser?
> >
> > Das ist im Gegensatz zum Urbild einfach die Menge der
> > Urbilder eines Elements.
> >
> > Beispiel: [mm]f: \IR \to \IR, x \mapsto x^2[/mm]
> >
> > Faser von [mm]f(x) = y = 4[/mm] ist die Menge [mm]\{-2, 2 \}[/mm]
> >
> > Viele Grüße
> > ChopSuey
> >
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