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Hallo,
Auf Wikipedia stehen zum Thema Urbild ein paar Beispiele:
Für die Funktion [mm] f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} [/mm] (ganze Zahlen) mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] gilt:
[mm] f^{-1}(4) [/mm] = [mm] \{2,-2\}
[/mm]
[mm] f^{-1}(0) [/mm] = [mm] \{0\}
[/mm]
[mm] f^{-1}(3) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] f^{-1}(-1) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
[mm] f^{-1}(\{1,4\}) [/mm] = [mm] \{-2,-1,1,2\} [/mm]
Diese sind mir so erstmal klar.
Was ist aber mit folgendem Beispiel (selbst ausgedacht)?:
[mm] f^{-1}(\{3,4\}) [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
oder
[mm] f^{-1}(\{3,4\}) [/mm] = [mm] \{2,-2\}
[/mm]
Was ist richtig?
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Hallo Peeter123,
> Hallo,
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> Auf Wikipedia stehen zum Thema Urbild ein paar Beispiele:
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> Für die Funktion [mm]f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}[/mm] (ganze
> Zahlen) mit [mm]f(x)=x^2[/mm] gilt:
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> [mm]f^{-1}(4)[/mm] = [mm]\{2,-2\}[/mm]
> [mm]f^{-1}(0)[/mm] = [mm]\{0\}[/mm]
> [mm]f^{-1}(3)[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
> [mm]f^{-1}(-1)[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
> [mm]f^{-1}(\{1,4\})[/mm] = [mm]\{-2,-1,1,2\}[/mm]
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> Diese sind mir so erstmal klar.
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> Was ist aber mit folgendem Beispiel (selbst ausgedacht)?:
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> [mm]f^{-1}(\{3,4\})[/mm] = [mm]\emptyset[/mm]
>
> oder
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> [mm]f^{-1}(\{3,4\})[/mm] = [mm]\{2,-2\}[/mm]
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> Was ist richtig?
Na, was meinst du denn?
Das Urbild einer Menge [mm]M\subset B[/mm] unter der Abbildung [mm]f:A\to B[/mm] ist definiert als [mm]f^{-1}(M):=\{x\in A:f(x)\in M\}[/mm]
Die Menge [mm]M[/mm] ist in deinem Bsp. [mm]M=\{3,4\}[/mm]
Nun gibt es doch ein x (sogar zwei x'e), mit [mm]f(x)\in M[/mm]
Nämlich die aus der zweiten Variante:
[mm]x=\pm 2[/mm] liefert [mm]f(x)=4\in M[/mm]
Dass das andere Element (3) von M nicht getroffen wird, macht nix.
Fazit: Variante 2 stimmt 
Gruß
schachuzipus
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