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Ist T [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] eine Matrix, deren Nebendiagonalelemente nicht verschwinden, d.h. es gilt
[mm] T_{i,i+1}\not=0 [/mm] (i=1,...,n-1) und [mm] T_{i,i-1}\not=0 [/mm] (i=2,...,n),
dann ist T unzerlegbar. |
Hallo,
ich habe eine Beweisidee für die Aufgabe oben, und wollt mal fragen, ob die mal kurz irgendjemand durchsehen kann.
Also wir haben Unzerlegbarkeit so definiert:
(I [mm] \subset [/mm] {1,...,n}, [mm] I\not=\emptyset, [/mm] j [mm] \in [/mm] I, [mm] T_{ij}\not=0 \Rightarrow [/mm] i [mm] \in [/mm] I) [mm] \Rightarrow [/mm] I={1,...,n}
Sei also eine Matrix T gegeben, deren Nebendiagonalelemente nicht verschwinden und es gelte die Implikation:
I [mm] \subset [/mm] {1,...,n}, I [mm] \not= \emptyset, [/mm] j [mm] \in [/mm] I, [mm] T_{ij}\not=0 \Rightarrow [/mm] i [mm] \in [/mm] I (*)
Nehme ein k aus I
Dann gilt nach Wahl von T: [mm] T_{k+1,k}\not=0 [/mm] für alle k [mm] \in [/mm] {1,...,n-1}. Demnach ist nach der geltenden Implikation (*) mit jedem k [mm] \in [/mm] I auch k+1 [mm] \in [/mm] I.
Also muss es sich bei der Indexmenge I schon um die Menge {1,...,n} handeln, und damit wäre T unzerlegbar.
[mm] \Box
[/mm]
Stimmt dieser Beweis? Oder ist irgendwo ein Denkfehler drin? Was mich ein bisschen stutzig macht ist die Tatsache, dass es in dem Fall ja ausreicht, wenn lediglich EINE Nebendiagonale keine Null enthält.
Danke schon mal für Eure Hilfe!
Gruß Michi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 16.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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