Untervektorraum, ja oder nein? < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Tavaril |
| Aufgabe | a) Seien a1, a2, ..., an, b [mm] \in [/mm] Rn beliebig. Zeigen Sie:
Die Menge {(x1, x2, ..., xn) [mm] \in [/mm] Rn | a1x1 +a2x2 +...+anxn = b } bildet einen Untervektorraum des
Rn genau dann wenn b = 0 gilt.
b) Gegeben sei nun das lineare Gleichungssystem:
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
[mm] \vdots \vdots
[/mm]
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
.
Zeigen Sie: Die Menge der Lösungen des linearen Gleichungssystems bilden einen Untervektorraum
des Rn genau dann wenn das LGS homogen ist.
c) Gegeben sei nun ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Zeigen Sie:
Sei L die Menge aller Lösungen des LGS und y [mm] \in [/mm] L eine beliebige Lösung des LGS. Dann bildet
die Menge {x − y | x [mm] \in [/mm] L} einen Untervektorraum des Rn. |
Hallo!
Diese Aufgabe soll ich für eine Hausaufgabe in Linearer Algebra lösen. Die ersten beiden Aufgabenteile habe ich denke ich auch vollständig gezeigt, sowohl die hin- als auch die Rückrichtung.
Aber beim Aufgabenteil c) kann ich keinen rechten Ansatz finden...
Das liegt vielleicht daran, dass ich nicht genau weiß, was ich mir unter y vorzustellen habe. Ist das nun ein Vektor? wenn ja, steh der dann in einer zeile oder in einer spalte? denn eigentlich ist ja die lösung einer solchen matrix A*y=b wobei bei A das system der ganzen kleinen a ist, mitsamt allen indizes und b setzt sich zusammen aus b1, b2, ..., bm.
Aber da es für mich hier so aussieht, als das die vektoren immer in einer zeile und nicht in einer spalte stehen komme ich einfach nicht an die aufgabe ran.
Ich hoffe da kann mir wer ein bisschen auf die sprünge helfen!
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> c) Gegeben sei nun ein inhomogenes lineares
> Gleichungssystem. Zeigen Sie:
> Sei L die Menge aller Lösungen des LGS und y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
L eine
> beliebige Lösung des LGS. Dann bildet
> die Menge {x − y | x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
L} einen Untervektorraum
> des Rn.
> Aber beim Aufgabenteil c) kann ich keinen rechten Ansatz
> finden...
> Das liegt vielleicht daran, dass ich nicht genau weiß, was
> ich mir unter y vorzustellen habe. Ist das nun ein Vektor?
Hallo,
ja, y ist ein Vektor.
Du hast ein Gleichungssystem Ax=b wie in Aufgabe b), d.h. A ist mxn-Matrix über \IR, b\in \IR^m, und die Lösungen werden dem \IR^n entstammen.
> wenn ja, steh der dann in einer zeile oder in einer spalte?
Einträgen.Zeilen.
> denn eigentlich ist ja die lösung einer solchen matrix
Man löst keine Matrix sondern Gleichungssysteme.
> A*y=b wobei bei A das system der ganzen kleinen a ist,
> mitsamt allen indizes und b setzt sich zusammen aus b1, b2,
> ..., bm.
Genau.
> Aber da es für mich hier so aussieht, als das die vektoren
> immer in einer zeile und nicht in einer spalte stehen komme
> ich einfach nicht an die aufgabe ran.
Nein, nein, es ist alles wie immer!
Gruß v. Angela
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