Untervektorraum - Nachweis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mo 12.11.2007 | | Autor: | schumann |
| Aufgabe | Im [mm] \IR-Vektorraum \IR3 [/mm] betrachten wir d. Vekt. v1=(1, 0, 0) und v2=(0, 1, 0). Die Menge
L(v1, v2) := [mm] {\alpha1v1 + \alpha2v2 | \alpha1,\alpha2 \in IR \}
[/mm]
heisst lineare Hülle oder Aufspann der Menge {v1,v2}.
(1) Zeige, dass L(v1, v2) ein Untervektorraum von [mm] \IR3 [/mm] ist.
(2) ist L(v1, v2) auch ein Untervektorraum des [mm] \IC [/mm] - Vektorraumes [mm] \IC3? [/mm] |
Wie kann ich hier die Unterraumeigenschaften
- "beinhaltet Nullelement"
-"abgeschlossen bzgl. Vektoraddition"
-"abgeschlossen bzgl. skalarmultiplikation"
zeigen?
Mir klingt das alles etwas zu abstrakt.
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> Im [mm]\IR-Vektorraum \IR3[/mm] betrachten wir d. Vekt. v1=(1, 0, 0)
> und v2=(0, 1, 0). Die Menge
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> [mm] L(v_1, v_2) [/mm] := [mm]\{\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 | \alpha_1,\alpha_2 \in IR \}[/mm]
>
> heisst lineare Hülle oder Aufspann der Menge [mm] {v_1,v_2}.
[/mm]
>
> (1) Zeige, dass [mm] L(v_1, v_2) [/mm] ein Untervektorraum von [mm]\IR3[/mm]
> ist.
> (2) ist [mm] L(v_1, v_2) [/mm] auch ein Untervektorraum des [mm]\IC[/mm] -
> Vektorraumes [mm]\IC3?[/mm]
> Wie kann ich hier die Unterraumeigenschaften
> - "beinhaltet Nullelement"
> -"abgeschlossen bzgl. Vektoraddition"
> -"abgeschlossen bzgl. skalarmultiplikation"
> zeigen?
> Mir klingt das alles etwas zu abstrakt.
Hallo,
in Deiner Linearen Hülle sind solche Vektoren, die die Gestalt [mm] \vec{c}=\alpha_1\vektor{1 \\ 0\\0}+ \alpha_2\vektor{0 \\ 1\\0} [/mm] mit [mm] \alpha_1,\alpha_2 \in [/mm] IR haben.
Um zu entscheiden, ob das Nullelement in der menge liegt, mußt Du überlegen, ob es [mm] \alpha_1,\alpha_2 \in [/mm] IR gibt so,
daß [mm] \alpha_1\vektor{1 \\ 0\\0}+ \alpha_2\vektor{0 \\ 1\\0}=\vektor{0 \\ 0\\0}.
[/mm]
Für die Abgeschlossenheit nimmst Du [mm] w_1:=\alpha_1\vektor{1 \\ 0\\0}+ \alpha_2\vektor{0 \\ 1\\0}, w_2:=\beta_1\vektor{1 \\ 0\\0}+ \beta_2\vektor{0 \\ 1\\0}, [/mm] addierst sie und schaust, ob die Summe in [mm] L(v_1, v_2) [/mm] liegt.
Für die Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation mußt Du entscheiden, ob für jedes [mm] r\in \IR [/mm]
[mm] r*w_1 \in L(v_1, v_2).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Di 13.11.2007 | | Autor: | schumann |
Hallo Angela,
lieben Dank für Deine souveräne Hilfe! :)
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