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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Menge aller Linearkombinationen eines festen Systems von endlich vielen Vektoren eines Vektorraumes einen Unterraum dieses Vektorraumes bildet. |
Hi,
habe o.g. Aufgabe bekommen.
Ist hier zu zeigen, dass alle Linearkombinationen der Vektoren eines Vektorraumes einen Unterraum bilden?
Das bedeutet ja ich muß zeigen:
1. Menge aller Linearkombinationen (LK) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
2. Wenn a,b [mm] \in [/mm] LK [mm] \Rightarrow (\lambda [/mm] * a + [mm] \mu [/mm] * b) [mm] \in [/mm] LK
richtig?
Nur wie zeig ich das?
Kann ich 1. so zeigen?:
[mm] \lambda*0-Vektor [/mm] + [mm] \mu*0-Vektor [/mm] ist eine LK und daher in der Menge aller LK. Da auch das Unterraumkriterium erfüllt ist ist der 0-Vektor im Unterraum enthalten
Nur bei 2. hab ich keine Ahnung wie ich das zeigen könnte...
Lg, nitro
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Dein "festes System" sei [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n
[/mm]
Sind a und b LKen obiger Vektoren, so gibt es Skalare [mm] s_1, [/mm] ..., [mm] s_n [/mm] und [mm] t_1, [/mm] ..., [mm] t_n [/mm] mit:
$a= [mm] s_1*x_1+ ...+s_n*x_n$ [/mm] und $b= [mm] t_1*x_1+ ...+t_n*x_n$
[/mm]
Nun berechne mal damit [mm] $\lambda [/mm] * a + [mm] \mu [/mm] * b$
FRED
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> Dein "festes System" sei [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm]
>
> Sind a und b LKen obiger Vektoren, so gibt es Skalare [mm]s_1,[/mm]
> ..., [mm]s_n[/mm] und [mm]t_1,[/mm] ..., [mm]t_n[/mm] mit:
>
> [mm]a= s_1*x_1+ ...+s_n*x_n[/mm] und [mm]b= t_1*x_1+ ...+t_n*x_n[/mm]
>
> Nun berechne mal damit [mm]\lambda * a + \mu * b[/mm]
>
> FRED
Danke für die schnelle Antwort!
Das wäre dann ja das hier:
[mm]\lambda*s_1*x_1+ ...+\lambda*s_n*x_n + \mu*t_1*x_1+ ...+\mu*t_n*x_n [/mm]
Aber was sagt mir das jetzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Dein "festes System" sei [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm]
> >
> > Sind a und b LKen obiger Vektoren, so gibt es Skalare [mm]s_1,[/mm]
> > ..., [mm]s_n[/mm] und [mm]t_1,[/mm] ..., [mm]t_n[/mm] mit:
> >
> > [mm]a= s_1*x_1+ ...+s_n*x_n[/mm] und [mm]b= t_1*x_1+ ...+t_n*x_n[/mm]
> >
> > Nun berechne mal damit [mm]\lambda * a + \mu * b[/mm]
> >
> > FRED
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Das wäre dann ja das hier:
> [mm]\lambda*s_1*x_1+ ...+\lambda*s_n*x_n + \mu*t_1*x_1+ ...+\mu*t_n*x_n[/mm]
>
> Aber was sagt mir das jetzt?
Ist obiges eine LK des Systems $ [mm] x_1, [/mm] $ ..., $ [mm] x_n [/mm] $ oder ist es keine ?????
FRED
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> > Danke für die schnelle Antwort!
> >
> > Das wäre dann ja das hier:
> > [mm]\lambda*s_1*x_1+ ...+\lambda*s_n*x_n + \mu*t_1*x_1+ ...+\mu*t_n*x_n[/mm]
>
> >
> > Aber was sagt mir das jetzt?
>
> Ist obiges eine LK des Systems [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] oder ist es
> keine ?????
>
> FRED
>
Ah, ok!
Es ist eine Linearkombination des Systems [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm]
Und damit ist das Unterraumkriterium erfüllt! Richtig?
War das wie ich oben gezeigt habe, dass die Menge aller LK [mm] \not= \emptyset [/mm] korrekt?
[mm]\lambda*0_v+\mu*0_v[/mm] ist eine LK und daher in der Menge aller LK
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Danke für die schnelle Antwort!
> > >
> > > Das wäre dann ja das hier:
> > > [mm]\lambda*s_1*x_1+ ...+\lambda*s_n*x_n + \mu*t_1*x_1+ ...+\mu*t_n*x_n[/mm]
>
> >
> > >
> > > Aber was sagt mir das jetzt?
> >
> > Ist obiges eine LK des Systems [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] oder ist es
> > keine ?????
> >
> > FRED
> >
>
> Ah, ok!
>
> Es ist eine Linearkombination des Systems [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm]
> Und damit ist das Unterraumkriterium erfüllt! Richtig?
Ja
>
> War das wie ich oben gezeigt habe, dass die Menge aller LK
> [mm]\not= \emptyset[/mm] korrekt?
> [mm]\lambda*0_v+\mu*0_v[/mm] ist eine LK und daher in der Menge
> aller LK
Ja
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Di 23.11.2010 | | Autor: | nitromath |
> > > > Danke für die schnelle Antwort!
> > > >
> > > > Das wäre dann ja das hier:
> > > > [mm]\lambda*s_1*x_1+ ...+\lambda*s_n*x_n + \mu*t_1*x_1+ ...+\mu*t_n*x_n[/mm]
>
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> > > >
> > > > Aber was sagt mir das jetzt?
> > >
> > > Ist obiges eine LK des Systems [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm] oder ist es
> > > keine ?????
> > >
> > > FRED
> > >
> >
> > Ah, ok!
> >
> > Es ist eine Linearkombination des Systems [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm]
> > Und damit ist das Unterraumkriterium erfüllt! Richtig?
>
> Ja
>
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> >
> > War das wie ich oben gezeigt habe, dass die Menge aller LK
> > [mm]\not= \emptyset[/mm] korrekt?
> > [mm]\lambda*0_v+\mu*0_v[/mm] ist eine LK und daher in der Menge
> > aller LK
>
> Ja
>
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> >
> > LG
>
Super, vielen Dank für deine Hilfe!!!!
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