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| Aufgabe | Sei X eine Menge, K ein Körper und V ein Vektorraum über K. Betrachten Sie die Menge der Abbildungen
[mm] Map(X,V) := \{ f | f: X \to V \} [/mm].
(a) Zeigen Sie: Mit der Verknüpfung (argumentweise Addition)
[mm] Map(X, Y) \times Map(X, V) \to Map(X, V), (f, g) \mapsto f + g[/mm]
wobei
[mm] f + g : X \to V, \forall x \in X : (f + g)(x) := f(x) + g(x)[/mm]
ist eine abelsche Gruppe.
(b) Jetzt führen wir noch eine (argumentweise) Skalarmultiplikation ein, gegeben durch
[mm] K \times Map(X,V), (\lambda, f) \mapsto \lambda \cdot f [/mm]
wobei
[mm] \lambda * f : X \mapsto V, \forall x \in X : (\lambda * f)(x) := \lambda * f(x).[/mm]
Beweisen Sie, das Map(X,V) ein Vektorraum über K ist.
(c) Sei z [mm] \in [/mm] X fest gegeben. Betrachten Sie die Menge
[mm] W := \{f \in Map(X,V) | f(z) = 0 \}. [/mm]
Zeigen Sie, dass W ein Untervektorraum von Map(X,V) ist. |
Es wäre nett, wenn mir jemand erklären kann, was überhaupt verlangt ist. Ich kenne die Schreibweise Map nicht. Dann wäre ich außerdem noch für Ansätze froh.
Zu a) Wenn ich beweisen soll, dass es eine abelsche Gruppe ist, muss ich beweisen, dass sie abgeschlossen und assoziativ ist, dass sie ein neutrales Element hat und es Inversen gibt sowie auch, dass sie kommutativ ist.
Zu b) Für einen Vektorraum muss ich folgendes zeigen:
- Map(X, V) muss bzgl. der Addition eine abelsche Gruppe sein und das neutrale Element ist [mm] \vec{0}. [/mm]
- Die Skalarmultiplikation muss Assoziativ sein - also [mm] \lambda(\my [/mm] x) = [mm] (\lambda\my)x. [/mm]
- 1x = x, [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V, 1 [mm] \in [/mm] K
- Dstributivgesetze
c) Nach Beweis aus der Vorlesung muss ich nur zeigen, dass W abgeschlossen ist bzgl. der Addition und der Skalarmultiplikation.
Also, wie schon gesagt. Wenn mir jemand erklären kann, was die Schreibweise $Map$ bedeutet, müsste ich die Aufgabe lösen können.
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mo 05.11.2007 | | Autor: | statler |
Hi Jennifer!
> Sei X eine Menge, K ein Körper und V ein Vektorraum über K.
> Betrachten Sie die Menge der Abbildungen
> [mm]Map(X,V) := \{ f | f: X \to V \} [/mm].
Hier ist deine Frage schon mal beantwortet, das ist die Menge der Abb. von X nach V. Manchmal wird dafür auch [mm] V^{X} [/mm] geschrieben.
> (a) Zeigen Sie: Mit der
> Verknüpfung (argumentweise Addition)
> [mm]Map(X, Y) \times Map(X, V) \to Map(X, V), (f, g) \mapsto f + g[/mm]
>
> wobei
> [mm]f + g : X \to V, \forall x \in X : (f + g)(x) := f(x) + g(x)[/mm]
>
> ist eine abelsche Gruppe.
>
> (b) Jetzt führen wir noch eine (argumentweise)
> Skalarmultiplikation ein, gegeben durch
> [mm]K \times Map(X,V), (\lambda, f) \mapsto \lambda \cdot f[/mm]
>
> wobei
> [mm]\lambda * f : X \mapsto V, \forall x \in X : (\lambda * f)(x) := \lambda * f(x).[/mm]
>
> Beweisen Sie, das Map(X,V) ein Vektorraum über K ist.
>
> (c) Sei z [mm]\in[/mm] X fest gegeben. Betrachten Sie die Menge
> [mm]W := \{f \in Map(X,V) | f(z) = 0 \}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass W
> ein Untervektorraum von Map(X,V) ist.
> Es wäre nett, wenn mir jemand erklären kann, was überhaupt
> verlangt ist. Ich kenne die Schreibweise Map nicht. Dann
> wäre ich außerdem noch für Ansätze froh.
> Zu a) Wenn ich beweisen soll, dass es eine abelsche Gruppe
> ist, muss ich beweisen, dass sie abgeschlossen und
> assoziativ ist, dass sie ein neutrales Element hat und es
> Inversen gibt sowie auch, dass sie kommutativ ist.
Das letzte z. B. folgt direkt aus der Definition der Summe von 2 Abbildungen:
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x)
Jetzt versuch dich mal an den anderen Herausforderungen. Welche Abbildung könnte denn wohl das neutrale Element sein?
Wenn du es verstanden hast, ist das alles ein Klacks, auch b) und c), nur viel Schreiberei.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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