Untervektorräume überprüfen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Krone |
| Aufgabe | Prüfen sie, ob folgende Mengen Untervektorräume sind, indem sie entweder die Axiome aus Satz (1.5) nachweisen oder ein Gegenbeispiel angeben:
a) [mm] \{\vektor{\alpha \\ \beta}|\alpha,\beta \in \IR \} \subset \IR^{2} [/mm] |
Hi.
Also die Axiome sind:
UVR1: [mm] u\not=\emptyset
[/mm]
UVR2: Abgeschlossenheit bzgl. Addition
UVR3: Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation
Also ich bin mir die gar nicht sicher wie ich das angehen soll ...
spontan würd ich behaupten, dass 1 erfüllt ist, weil eine leere Menge kann in dem Vektor ja nicht rauskommen ...
2 und 3 weiss ich nicht wie ich das beweisen soll, dass es stimmt ...
ich mein, dass man Vektoren addieren und mit Skalaren multiplizieren kann, ist doch klar, und dass es dann im R² bleibt, eigentlich auch.
Oder seh ich das falsch?
Aufgabe b) ist ähnlich, einziger Unterschied: anstatt alpha und -beta hat man zwei Nullen im Vektor.
Da stellen sich mir allerdings dieselben Probleme ...
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Hallo Krone,
> Prüfen sie, ob folgende Mengen Untervektorräume sind,
> indem sie entweder die Axiome aus Satz (1.5) nachweisen
> oder ein Gegenbeispiel angeben:
>
> a) [mm]\{\vektor{\alpha \\
\beta}|\alpha,\beta \in \IR \} \subset \IR^{2}[/mm]
>
> Hi.
> Also die Axiome sind:
>
> UVR1: [mm]u\not=\emptyset[/mm]
> UVR2: Abgeschlossenheit bzgl. Addition
> UVR3: Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation
>
> Also ich bin mir die gar nicht sicher wie ich das angehen
> soll ...
> spontan würd ich behaupten, dass 1 erfüllt ist, weil
> eine leere Menge kann in dem Vektor ja nicht rauskommen
> ...
Kannst du das mal auf deutsch formulieren?!
Ein Vektorraum [mm]U[/mm] enthält immer den Nullvektor, die Bedingung [mm]U\neq\emptyset[/mm] und [mm]0\in U[/mm] sind gleichwertig ([mm]0[/mm] bezeichnet den Nullvektor)
Nun sind [mm]\alpha=0, \beta=0[/mm] offensichtlich reelle Zahlen, also erfüllt der [mm]\vektor{\alpha\\
\beta}=\vektor{0\\
0}[/mm] doch die Bedingung, in der Menge zu sein...
> 2 und 3 weiss ich nicht wie ich das beweisen soll, dass es
> stimmt ...
> ich mein, dass man Vektoren addieren und mit Skalaren
> multiplizieren kann, ist doch klar, und dass es dann im R²
> bleibt, eigentlich auch.
> Oder seh ich das falsch?
Das siehst du richtig und es liegt an der Abgeschlossenheit von [mm]IR[/mm], dass alles "passt"
Nimm dir 2 Vektoren aus der Menge her, etwa [mm]\vektor{\alpha_1\\
\beta_1}[/mm] und [mm]\vektor{\alpha_2\\
\beta_2}[/mm]
Dann sind nach Def. der Menge [mm]\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2[/mm] reelle Zahlen.
Damit sind aber auch [mm]\alpha_1+\alpha_2,\beta_1+\beta_2[/mm] reelle Zahlen, also liegt [mm]\vektor{\alpha_1\\
\beta_1}+\vektor{\alpha_2\\
\beta_2}=\vektor{\alpha_1+\alpha_2\\
\beta_1+\beta_2}[/mm] in der oben def. Menge.
Für die Multiplikationen mit Skalaren ist es ähnlich naheliegend
Seien [mm]\lambda\in\IR[/mm] und [mm]\vektor{\alpha\\
\beta}[/mm] aus der Menge.
Was ist dann [mm]\lambda\cdot{}\vektor{\alpha\\
\beta}[/mm] ?
>
> Aufgabe b) ist ähnlich, einziger Unterschied: anstatt
> alpha und -beta hat man zwei Nullen im Vektor.
> Da stellen sich mir allerdings dieselben Probleme ...
Na, was ist das denn für eine Menge?
Sie enthält nur ein Element [mm]\vektor{0\\
0}[/mm]
Was ergibt Multiplikation mit einem reellen Skalar [mm]\lambda[/mm]?
Was ergibt sich für [mm]\vektor{0\\
0}+\vektor{0\\
0}[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Krone |
> Na, was ist das denn für eine Menge?
>
> Sie enthält nur ein Element [mm]\vektor{0\\
0}[/mm]
>
> Was ergibt Multiplikation mit einem reellen Skalar
> [mm]\lambda[/mm]?
>
> Was ergibt sich für [mm]\vektor{0\\
0}+\vektor{0\\
0}[/mm] ?
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Danke schonmal für deine Hilfe, jetzt hab ich die a schonmal verstanden und auch das Prinzip bei den Aufgaben.
Klar, die Menge besteht nur aus einem Element. Kann ja eigentlich kein UVR sein, oder ?
aber wenn man ja 2 Nullvektoren addiert, bzw. den mit einem Skalar aus R multipliziert, bleibt man doch beim Nullvektor, und damit auch in der Menge (oder?).
Und damit wäre die Bedingung für einen UVR ja erfüllt ... aber das kann ja irgendwie nicht sein ...
bei der c) hab ich anstatt dem Nullvektor den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
stehen. Hier ist ja kein Nullvektor und somit kein UVR, seh ich das richtig?
Sorry, aber ich steh immer noch ein bisschen aufm Schlauch, komm mit dem Aufgabentyp noch nicht so ganz klar ...
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> > Na, was ist das denn für eine Menge?
> >
> > Sie enthält nur ein Element [mm]\vektor{0\\
0}[/mm]
> >
> > Was ergibt Multiplikation mit einem reellen Skalar
> > [mm]\lambda[/mm]?
> >
> > Was ergibt sich für [mm]\vektor{0\\
0}+\vektor{0\\
0}[/mm] ?
> >
> >
> > Gruß
> Klar, die Menge besteht nur aus einem Element. Kann ja
> eigentlich kein UVR sein, oder ?
Hallo,
was spricht dagegen? Hast Du ein VR-Axiom auf Lager, welches mehr als ein Element fordert?
>
> aber wenn man ja 2 Nullvektoren addiert, bzw. den mit einem
> Skalar aus R multipliziert, bleibt man doch beim
> Nullvektor, und damit auch in der Menge (oder?).
Ja, richtig.
> Und damit wäre die Bedingung für einen UVR ja erfüllt
Ja.
> ... aber das kann ja irgendwie nicht sein ...
Wieso?
>
> bei der c) hab ich anstatt dem Nullvektor den Vektor
> [mm]\vektor{1 \\
2 \\
3}[/mm]
> stehen. Hier ist ja kein Nullvektor
> und somit kein UVR, seh ich das richtig?
Ich seh' halt die c) nicht in der Originalformulierung.
Wenn die Aufgabe wirklich so ist, wie Du sagst, dann hast Du recht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Krone |
Danke für deine Hilfe :)
Ich hab nun die meisten Aufgaben lösen können, aber bei einem blicke ich nicht ganz durch:
[mm] \{\alpha*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}|\alpha \in \IR \} \subset \IR^{3}
[/mm]
Jetzt hab ich ja sie Skalarmultiplikation schon in der Menge drin ...
wie wirkt sich das dann auf das beweisen der Abgeschlossenheit aus? Und wie soll man da zwei Vektoren miteinander addieren, wenn da die Multiplikation im Weg ist?
Spontan würd ichs agen, dass es kein Untervektorraum ist, weil mir halt keine Lösung einfällt ... aber so richtig verwirrt mich da die Multiplikation mit alpha ...
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> [mm]\{\alpha*\vektor{1 \\
2 \\
3}|\alpha \in \IR \} \subset \IR^{3}[/mm]
Hallo,
dacht' ich's mir doch:
in der Menge sind sämtliche Vielfache des Vektors [mm] \vektor{1\\2\\3}.
[/mm]
1.
Ist denn der Nullvektor auch in der Menge? Ist er ein Veilfaches von [mm] \vektor{1\\2\\3}?
[/mm]
2.
Jetzt ist die Frage zu klären, ob für [mm] v_1, v_2 \in $\{\alpha*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}|\alpha \in \IR \}$ [/mm] auch [mm] v_1+v-2 [/mm] in dieser Menge liegt.
Überlegen wir mal wie [mm] v_1 [/mm] aussieht: [mm] v_1 [/mm] ist ein Vielfaches von [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}, [/mm] also [mm] v_1=\alpha_1\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] für ein [mm] \alpha_1\in \IR.
[/mm]
Für [mm] v_2 [/mm] entsprechend.
Und? Ist die Summe ein Vielfaches von [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}?
[/mm]
3.
Für die Multiplikation mit Skalaren stelle dann entsprechende Überlegungen an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 So 24.10.2010 | | Autor: | Krone |
>
> > [mm]\{\alpha*\vektor{1 \\
2 \\
3}|\alpha \in \IR \} \subset \IR^{3}[/mm]
>
> Hallo,
>
> dacht' ich's mir doch:
>
> in der Menge sind sämtliche Vielfache des Vektors
> [mm]\vektor{1\\2\\3}.[/mm]
>
> 1.
> Ist denn der Nullvektor auch in der Menge? Ist er ein
> Veilfaches von [mm]\vektor{1\\2\\3}?[/mm]
Naja wenn man 0* den Vektor nimmt, hat man ja den Nullvektor ... also ja (?)
>
> 2.
> Jetzt ist die Frage zu klären, ob für [mm]v_1, v_2 \in[/mm]
> [mm]\{\alpha*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}|\alpha \in \IR \}[/mm] auch
> [mm]v_1+v-2[/mm] in dieser Menge liegt.
v1+v-2 ? Versteh ich nicht...
> Überlegen wir mal wie [mm]v_1[/mm] aussieht: [mm]v_1[/mm] ist ein
> Vielfaches von [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3},[/mm] also
> [mm]v_1=\alpha_1\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] für ein [mm]\alpha_1\in \IR.[/mm]
>
> Für [mm]v_2[/mm] entsprechend.
> Und? Ist die Summe ein Vielfaches von [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}?[/mm]
>
Ja, müsste ja dann sein ...
> 3.
> Für die Multiplikation mit Skalaren stelle dann
> entsprechende Überlegungen an.
Wär doch dann auch erfüllt (?)
>
> Gruß v. Angela
>
>
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Hallo nochmal,
> >
> > > [mm]\{\alpha*\vektor{1 \\
2 \\
3}|\alpha \in \IR \} \subset \IR^{3}[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > dacht' ich's mir doch:
> >
> > in der Menge sind sämtliche Vielfache des Vektors
> > [mm]\vektor{1\\
2\\
3}.[/mm]
> >
> > 1.
> > Ist denn der Nullvektor auch in der Menge? Ist er ein
> > Veilfaches von [mm]\vektor{1\\
2\\
3}?[/mm]
>
> Naja wenn man 0* den Vektor nimmt, hat man ja den
> Nullvektor ... also ja (?)
>
> >
> > 2.
> > Jetzt ist die Frage zu klären, ob für [mm]v_1, v_2 \in[/mm]
> > [mm]\{\alpha*\vektor{1 \\
2 \\
3}|\alpha \in \IR \}[/mm] auch
> > [mm]v_1+v-2[/mm] in dieser Menge liegt.
>
> v1+v-2 ? Versteh ich nicht...
Das sollte ein Unterstrich werden, also [mm]v_1+v_2[/mm]
>
> > Überlegen wir mal wie [mm]v_1[/mm] aussieht: [mm]v_1[/mm] ist ein
> > Vielfaches von [mm]\vektor{1 \\
2 \\
3},[/mm] also
> > [mm]v_1=\alpha_1\vektor{1 \\
2 \\
3}[/mm] für ein [mm]\alpha_1\in \IR.[/mm]
>
> >
> > Für [mm]v_2[/mm] entsprechend.
> > Und? Ist die Summe ein Vielfaches von [mm]\vektor{1 \\
2 \\
3}?[/mm]
>
> >
>
> Ja, müsste ja dann sein ...
Wieso meinst du das?
Rechne es doch mal KONKRET aus und vor anstatt immer nur rumzudrucksen und darauf zu warten, dass es dir jemand vorrechnet.
Zwei Vektoren wirst du doch wohl noch addieren können. Mensch Meier!
>
>
> > 3.
> > Für die Multiplikation mit Skalaren stelle dann
> > entsprechende Überlegungen an.
>
> Wär doch dann auch erfüllt (?)
Rechne vor, warum das deiner Meinung nach so ist!
Mein Gott nochmal!
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 24.10.2010 | | Autor: | Krone |
> Wieso meinst du das?
>
> Rechne es doch mal KONKRET aus und vor anstatt immer nur
> rumzudrucksen und darauf zu warten, dass es dir jemand
> vorrechnet.
>
> Zwei Vektoren wirst du doch wohl noch addieren können.
> Mensch Meier!
>
Ist ja gut, kein Grund hier so an die Decke zu gehen.
Also was ich sagen will:
[mm] \alpha* \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] \beta*\vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] = [mm] (\alpha+\beta)*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
und somit ist es doch dann ein vielfaches, also auch in der Menge. Richtig?
> >
> >
> > > 3.
> > > Für die Multiplikation mit Skalaren stelle dann
> > > entsprechende Überlegungen an.
> >
> > Wär doch dann auch erfüllt (?)
>
> Rechne vor, warum das deiner Meinung nach so ist!
>
> Mein Gott nochmal!
Ja wär ja dann [mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}.
[/mm]
Ist doch dann auch ein Vielfaches, und somit auch in der Menge.
War meine Überlegung mit dem Nullvektor denn richtig? Steht einen Post vorher oder so ...
Gruß
>
> LG
>
> schachuzipus
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> > Wieso meinst du das?
> >
> > Rechne es doch mal KONKRET aus und vor anstatt immer nur
> > rumzudrucksen und darauf zu warten, dass es dir jemand
> > vorrechnet.
> >
> > Zwei Vektoren wirst du doch wohl noch addieren können.
> > Mensch Meier!
> >
>
> Ist ja gut, kein Grund hier so an die Decke zu gehen.
Hallo,
wenn schachuzipus an die Decke geht, ist das ganz anders.
Hier hebt er nur ein bißchen die Peitsche, um Dich auf Trab zu bringen.
> Also was ich sagen will:
mit [mm] $v_1:=\alpha* \vektor{1 \\ 2 \\ 3}$ [/mm] und [mm] v_2:= $\beta*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}$ [/mm] ist auch die Summe
[mm] v_1+v_2=
[/mm]
>
> [mm]\alpha* \vektor{1 \\
2 \\
3}[/mm] + [mm]\beta*\vektor{1 \\
2 \\
3}[/mm] =
> [mm](\alpha+\beta)*\vektor{1 \\
2 \\
3}[/mm]
in der fraglichen Menge.
>
> und somit ist es doch dann ein vielfaches, also auch in der
> Menge. Richtig?
Ja.
>
>
>
> > >
> > >
> > > > 3.
> > > > Für die Multiplikation mit Skalaren stelle dann
> > > > entsprechende Überlegungen an.
> > >
> > > Wär doch dann auch erfüllt (?)
> >
> > Rechne vor, warum das deiner Meinung nach so ist!
> >
> > Mein Gott nochmal!
>
> Ja wär ja dann [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1 \\
2 \\
3}.[/mm]
Nein.
Sei [mm] v_1 [/mm] in der Menge. Dann gibt es ein [mm] a\in \IR [/mm] mit [mm] v_1=a*\vektor{1\\2\\3}.
[/mm]
Was mußt Du nun zeigen?
>
> War meine Überlegung mit dem Nullvektor denn richtig?
Ja, natürlich.
Gruß v. Angela
> Steht einen Post vorher oder so ...
>
> Gruß
>
> >
> > LG
> >
> > schachuzipus
> >
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 24.10.2010 | | Autor: | Krone |
> wenn schachuzipus an die Decke geht, ist das ganz anders.
> Hier hebt er nur ein bißchen die Peitsche, um Dich auf
> Trab zu bringen.
Dann ist ja gut :)
> Sei [mm]v_1[/mm] in der Menge. Dann gibt es ein [mm]a\in \IR[/mm] mit
> [mm]v_1=a*\vektor{1\\2\\3}.[/mm]
> Was mußt Du nun zeigen?
Also so ähnlich war auch meine Idee.
Nur hab ich ja in der Menge schon das alpha als Skalar mit drin.
Somit hätte ich jetzt gedacht, wenn mein Vektor [mm]v_1=\alpha*\vektor{1\\2\\3}.[/mm] ist, und ich dann nochmal mit einem Skalar s multiplizieren muss, dass dann das rauskäme:
[mm] s*\alpha*\vektor{1\\2\\3}
[/mm]
= [mm] (s*\alpha)*\vektor{1\\2\\3}
[/mm]
damit wär es ja auch ein vielfaches und somit in der Menge.
Ist das denn richtig?
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Hallo,
jetzt hast Du es richtig gemacht,arbeite aber etwas genauer:
[mm] s*v_1=$ s\cdot{}\red{(}\alpha\cdot{}\vektor{1\\2\\3}\red{)}$
[/mm]
= $ [mm] (s\cdot{}\alpha)\cdot{}\vektor{1\\2\\3} [/mm] $
Gruß v. Angela
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