Untervektorräume d. R Abb(R,R) < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 So 09.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des R-Vektorraums Abb(R,R) der Abbildungen von R nach R?
Eine Abbildung von R nach R ist monoton steigend wenn (x [mm] \le [/mm] y) => (f(x) [mm] \le [/mm] f(y) ). Sie ist monoton fallend wenn (x [mm] \le [/mm] y) => (f(x) [mm] \ge [/mm] f(y)) für alle x,y [mm] \in [/mm] R. Sie ist monoton, wenn sie entweder monton steigend oder fallend ist.
a) U: = {f [mm] \in [/mm] Abb(R,R) | f ist beschränkt}
b) U: = {f [mm] \in [/mm] Abb(R,R) | f ist monoton steigend}
c) U: = {f [mm] \in [/mm] Abb(R,R) | f ist stetig}
d) U: = {f [mm] \in [/mm] Abb(R,R) | f ist monoton}
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Moin,
mir ist herzlich unklar, wie ich entscheiden kann, ob es sich in a)- d) um Untervektorräume handelt oder nicht.
Für die Aufgabe reicht ein einfaches Ja oder Nein. Mich würde aber schon auch eine kurze Begründung interessieren!
Meine Idee ist, wenn eine Abbildung monoton bzw. monoton steigend bzw. monoton fallend ist, so sind die Abbildungen Untervektorräume (R,R).
Bei Stetigkeit, weiss ich überhaupt nicht, wie ich das entscheiden soll... Denke hier, es handelt sich um keinen Vektorraum???
Bei einer beschränkten Abbildungsvorschrift, weiss ich es auch nicht!
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
Wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 So 09.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Grüß dich.
Ich werd dir mal bei der a) helfen.
Du musst alle 3 Untervektorraumkriterien nachweisen.
Dazu gehört:
Menge nicht leer:
Die Funktion f(x)=0, also die Nullfunktion ist schonmal eine Abbildung von R nach R und beschränkt. Also ist die Menge nicht leer.
Additivität:
Seien [mm] f,g\in [/mm] U, dann sind sie beschränkt mit |f(x)|<F und |g(x)|<G für alle [mm] x\in\IR. [/mm] Der Betrag der Summe beider Funktionen [mm] |f(x)+g(x)|<(F+G)<\infty, [/mm] also ist f+g auch beschränkt und somit ist [mm] (f+g)\in [/mm] U.
Homogenität:
Sei [mm] \lambda\in\IR, [/mm] dann ist [mm] \lambda*f [/mm] auch in U, da |f(x)|<F beschränkt und [mm] |\lambda*f(x)|=|\lambda|*|f(x)|<|\lambda|*F, [/mm] also ist [mm] \lambda*f [/mm] auch beschränkt, woraus folgt, dass [mm] \lambda*f\in [/mm] U.
Damit wären die 3 Kriterien nachgewiesen.
b geht genauso, da ist U auch untervektorraum.
in c ist U auch UVR
in Aufgabe d allerdings nicht. Da scheitert man am 2. Kriterium, wenn f monoton wachsend und g monoton fallend ist, kann es dazu kommen, dass f+g nicht monoton ist.
Gruß
Max
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