Untervektorräume Teilmengen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 So 09.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. [mm] T_1, T_2 [/mm] und [mm] T_3 [/mm] seien Untervektorräume von V.
a) Zeigen Sie: [mm] T_1 \cup T_2 [/mm] ist genau dann ein Untervektorraum von V, wenn [mm] T_1 \subseteq T_2 [/mm] oder [mm] T_2 \subseteq T_1 [/mm] ist.
b) Wenn [mm] T_1 \cup T_2 \cup T_3 [/mm] ein Untervektorraum von V ist, folgt dann, dass [mm] T_1 \subseteq T_2 \cup T_3 [/mm] oder [mm] T_2 \subseteq T_1 \cup T_3 [/mm] oder [mm] T_3 \subseteq T_1 \cup T_2 [/mm] gilt? Beweis oder Gegenbeispiel. |
Was ist ein K-Vektorraum?
Jemand irgendwelche Lösungsideen?
Danke!
Gruß
Wolfgang
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> Es sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. [mm]T_1, T_2[/mm] und
> [mm]T_3[/mm] seien Untervektorräume von V.
>
> a) Zeigen Sie: [mm]T_1 \cup T_2[/mm] ist genau dann ein
> Untervektorraum von V, wenn [mm]T_1 \subseteq T_2[/mm] oder [mm]T_2 \subseteq T_1[/mm]
> ist.
Hallo,
das ist recht beliebt...
Mach Dir zunächst klar, daß [mm] T_1 \cup T_2 [/mm] i.a. gar kein VR ist.
Zum Beweis der Aufgabe:
Nimm an, daß [mm] T_1 \cup T_2 [/mm] ein UVR ist, aber weder [mm]T_1 \subseteq T_2[/mm] noch [mm]T_2 \subseteq T_1[/mm] gilt.
Dann gibt es ein Element in [mm]T_1 \ T_2[/mm] und eines in [mm]T_2 \ T_1[/mm].
Mit diesen mußt Du nun spielen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mo 10.12.2007 | | Autor: | hase-hh |
Moin!
... und was ist ein K-Vektorraum?
gruß
wolfgang
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> Moin!
>
> ... und was ist ein K-Vektorraum?
Ein "K-Vektorraum" ist ein "Vektorraum über dem Körper K".
Bei einem ![[]](/images/popup.gif) Vektorraum hast Du doch immer auch eine Multiplikation v. Vektoren mit Elementen eines Körpers definiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 So 16.12.2007 | | Autor: | esiminch |
hi angela,
haettest du einen tip wo man fuer (b) ansaetzt?
ich hab schwierigkeiten den wiederspruch zusammen zu fassen. Ich versuche einen wiederspruchsbeweis zu konstruieren und dazu faellt mir bisjetzt nur ein das ich soll zeigen das [mm] T_1\cup T_2 \cup T_3 [/mm] ein UVRaum sein kann so dass [mm] T_1\cap(T_2\cup T_3) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] und [mm] T_2\cap(T_3\cup T_1) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] und [mm] T_3\cap(T_2\cup T_1) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] .
also fuer [mm] t_1 \in T_1, t_2 \in T_2, t_3 \in T_3 [/mm] gilt:
[mm] t_1 [/mm] + [mm] t_2 [/mm] + [mm] t_3 \in T_1\cup T_2 \cup T_3 [/mm] also folgt:
wenn z.b. [mm] t_1 [/mm] + [mm] t_2 [/mm] + [mm] t_3 \in T_1 [/mm] dann:
[mm] t_2 [/mm] + [mm] t_3 \in T_1
[/mm]
hier nach annahme [mm] T_1 [/mm] keine untermenge von [mm] T_2 [/mm] vereinigt [mm] T_3 [/mm] das heisst aber nicht dass so ein UVRaum existiert. ich vergallopiere mich wohl an irgendeiner stelle oder setze an der falschen stelle an:(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 16.12.2007 | | Autor: | esiminch |
bzw. sei [mm] T_1 \cup T_2 \cup T_3 [/mm] ein UVRaum aber [mm] T_1 \cup T_2 [/mm] und [mm] T_1 \cup T_3 [/mm] und [mm] T_2 \cup T_3 [/mm] keine UVRaeume. wenn man zeigen konnte das so ein UVRaum existieren kann dann waehre (b) bewiesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 So 16.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm den [mm] R^n, [/mm] den UV der durch den ersten, den der durch den 2. den der durch den 3. Basisvektor gegeben ist.
Prüf die Beh. nach!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 So 16.12.2007 | | Autor: | esiminch |
danke! mir gingen die augen auf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:59 Do 20.12.2007 | | Autor: | esiminch |
Fuer alle interresierten, die richtige antwort:
[mm] Z_2={0, 1}
[/mm]
Vektorraum:
[mm] Z_2xZ_2 [/mm] = {(0, 0), (0,1), (1, 0), (1, 1)}
UVRaeume:
[mm] T_1 [/mm] = {(0,0), (0,1)}
[mm] T_2 [/mm] = {(0,0), (1, 0)}
[mm] T_3 [/mm] = {(0,0), (1,1)}
[mm] T_1 \cup T_2 \cup T_3 [/mm] = [mm] Z_2xZ_2
[/mm]
also auch UVRaum
aber es ist leicht erkennen das keine von den drei eine untermenge
der vereinigung der anderen zwei ist.
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