Untervektorräume Prüfen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Überprüfen Sie, welche der folgenden Mengen Untervektorräume sind:
[mm] V_{2}:={(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\varepsilon\IR^4|x_{1}+x_{4}=2x_{2}}
[/mm]
- [mm] V_{2}\not={} [/mm] da [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \varepsilon V_{2}
[/mm]
- Es sei [mm] a,b,c,d\varepsilon V_{2} [/mm] mit [mm] a=\vektor{r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \\ r_{4}}b=\vektor{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3} \\ s_{4}}c=\vektor{u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \\ u_{4}}d=\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4}}
[/mm]
zu zeigen:
[mm] r_{1}+v_{1}=2s_{1} [/mm] |
Ist das bis hierhin richtig oder bin ich auf dem Holzweg?
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> Überprüfen Sie, welche der folgenden Mengen
> Untervektorräume sind:
Hallo,
vollständige Aufgabenstellungen sind nie ein Fehler. Hier soll sicher gezeigt werden, daß es Unterräume [mm] des\IR^4 [/mm] sind.
>
> [mm]V_{2}:={(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\varepsilon\IR^4|x_{1}+x_{4}=2x_{2}}[/mm]
> - [mm]V_{2}\not=\{\}[/mm] da [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0 \\
0}[/mm]
Hm? Da der Nullvektor was? Ich sag's Dir: [mm] \in V_2.
[/mm]
Du mußt wirklich eindeutig hinschreiben, was Du meinst.
> - Es sei
> [mm]a,b,c,d\varepsilon V_{2}[/mm] mit [mm]a=\vektor{r_{1} \\
r_{2} \\
r_{3} \\
r_{4}}b=\vektor{s_{1} \\
s_{2} \\
s_{3} \\
s_{4}}c=\vektor{u_{1} \\
u_{2} \\
u_{3} \\
u_{4}}d=\vektor{v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3} \\
v_{4}}[/mm]
>
> zu zeigen:
> [mm]r_{1}+v_{1}=2s_{1}[/mm]
>
> Ist das bis hierhin richtig oder bin ich auf dem Holzweg?
Ich glaube, Du meinst es gut, aber es läuft hier gerade gewaltig aus dem Ruder...
Daß [mm] V_2 [/mm] nichtleer ist, hast Du gezeigt.
Jetzt schreib erstmal die beiden anderen Kriterien auf, die nachzuweisen sind. Wir brauchen sie schwarz auf weiß.
Erst dann kann es weitergehen.
Tips: wenn ein Vektor [mm] v=\vektor{v_{1} \\
v_{2} \\
v_{3} \\
v_{4}} [/mm] nach Voraussetzung in [mm] V_2 [/mm] ist, dann wissen wir, daß [mm] v_1+v_4=2v_2.
[/mm]
Wenn Du von irgendeinem Vektor prüfen willst, ob er in [mm] V_2 [/mm] ist, mußt Du nachrechnen, ob 1. und 4. Komponente addiert das Doppelte der 2. ergeben.
LG Angela
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Das nächste Kriterium ist
a,b [mm] \varepsilon [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \varepsilon [/mm] U
dann erfinde ich jetzt einfach mal 2 vektoren.
$ [mm] a=\vektor{r_{1} \\ \\ r_{3} \\ r_{4}}b=\vektor{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3} \\ s_{4}}
[/mm]
Daraus folgt (beziehungsweise folgere ich jetzt):
[mm] r_{1}+r_{4}+s_{1}+s_{4}= 2r_{2}+2s_{2}
[/mm]
Nächste Bedingung ist:
a [mm] \varepsilon [/mm] U [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] a [mm] \varepsilon [/mm] U
richtig soweit?
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> Das nächste Kriterium ist
>
> a,b [mm]\varepsilon[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] a+b [mm]\varepsilon[/mm] U
Hallo,
genau.
>
> dann erfinde ich jetzt einfach mal 2 vektoren.
>
> $ [mm]a=\vektor{r_{1} \\
\\
r_{3} \\
r_{4}}b=\vektor{s_{1} \\
s_{2} \\
s_{3} \\
s_{4}}[/mm]
Die sollen sicher aus [mm] V_2 [/mm] sein.
Das muß dabeistehen!
Da sie aus [mm] V_2 [/mm] sind, gilt ???
>
> Daraus folgt
Woraus denn? Du mußt nun erstmal vormachen ir Du addierst, dann gucken wir das Ergebnis an.
Addiere 1. und 4. Komponente.
Dann steht da ???
Das ist gleich
> (beziehungsweise folgere ich jetzt):
> [mm]r_{1}+r_{4}+s_{1}+s_{4}= 2r_{2}+2s_{2}[/mm]
[mm] =2(r_2+s_2).
[/mm]
Du hast jetzt wohl kapiert, was zu tun ist.
Aber Du mußt üben, es schlüssig aufzuschreiben.
Alles muß dastehen. Deine Leser sollen nicht ihre eigene Fantasie bemühen müssen.
>
> Nächste Bedingung ist:
> a [mm]\varepsilon[/mm] U [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] a [mm]\varepsilon[/mm] U
Ja.
Und nun schreib alles mit der gebotenen Ausführlichkeit auf.
LG Angela
>
> richtig soweit?
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Immer diese sache mit der ausführlichkeit, das muss ich mir echt angewöhnen für die Klausur...
Es sei a,b [mm] \varepsilon V_{2} [/mm] mit $ [mm] a=\vektor{r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \\ r_{4}} und b=\vektor{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3} \\ s_{4}} [/mm] $
a+b= [mm] \vektor{r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \\ r_{4}} [/mm] + [mm] \vektor{s_{1} \\ s_{2} \\ s_{3} \\ s_{4}} [/mm] = [mm] \pmat{ r_{1}+s_{1} \\ r_{2}+s_{2} \\ r_{3}+s_{3} \\ r_{4}+s_{4} }
[/mm]
$ [mm] (r_1+s_1)+(r_4+s_4)=2(r_2+s_2)= 2r_{2}+2s_{2} [/mm] $ das müsste [mm] \varepsilon V_{2} [/mm] sein da [mm] r_2 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] beide [mm] \varepsilon V_{2} [/mm] oder?
Und zum letzten :
Es sei a [mm] \varepsilon V_{2} [/mm] mit [mm] a=\vektor{r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \\ r_{4}} [/mm] und [mm] \lambda \varepsilon \IR
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] a = [mm] \lambda\vektor{ r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3} \\ r_{4}}=\vektor{\lambda r_{1} \\ \lambda r_{2} \\ \lambda r_{3} \\ \lambda r_{4}}
[/mm]
Desweiteren gilt ja (da [mm] \lambda [/mm] ja für alle Vektorzahlen gleich ist)
[mm] \lambda r_1+ \lambda r_4 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] 2 [mm] r_2 [/mm]
Also ist [mm] V_2 [/mm] ein Unterraum da [mm] \lambda [/mm] 2 [mm] r_2 \varepsilon V_2 [/mm] ist.
richtig?
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> Immer diese sache mit der ausführlichkeit, das muss ich
> mir echt angewöhnen für die Klausur...
Hallo,
ja.
Man macht übrigens auch weniger Fehler, wenn man jeden Schritt aufschreibt und begründet - nicht nur in Klausuren, sondern generell.
Du hast es jetzt schon viiiiiel besser gemacht, so daß Du auch Punkte darauf bekommen würdest.
>
> Es sei a,b [mm]\varepsilon V_{2}[/mm] mit [mm]a=\vektor{r_{1} \\
r_{2} \\
r_{3} \\
r_{4}} und b=\vektor{s_{1} \\
s_{2} \\
s_{3} \\
s_{4}} [/mm]
>
> a+b= [mm]\vektor{r_{1} \\
r_{2} \\
r_{3} \\
r_{4}}[/mm] +
> [mm]\vektor{s_{1} \\
s_{2} \\
s_{3} \\
s_{4}}[/mm] = [mm]\pmat{ r_{1}+s_{1} \\
r_{2}+s_{2} \\
r_{3}+s_{3} \\
r_{4}+s_{4} }[/mm]
>
> [mm](r_1+s_1)+(r_4+s_4)=
(Rechnen in \IR)
=(r_1+r_4)+(s_1+s_4)
(denn a,b\in V_2)
=2r_2+2s_2=
(Rechnen in \IR)
> 2(r_2+s_2) [/mm]
(Beachte die Unterschiede zu dem, was Du vorher hattest.)
> das müsste
> [mm]\varepsilon V_{2}[/mm] sein da [mm]r_2[/mm] und [mm]s_2[/mm] beide [mm]\varepsilon V_{2}[/mm]
Also ist [mm] a+b\in V_2, [/mm] denn [mm] (r_1+s_1)+(r_4+s_4)=2(r_2+s_2) [/mm] .
> oder?
>
> Und zum letzten :
> Es sei a [mm]\varepsilon V_{2}[/mm] mit [mm]a=\vektor{r_{1} \\
r_{2} \\
r_{3} \\
r_{4}}[/mm]
> und [mm]\lambda \varepsilon \IR[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] a = [mm]\lambda\vektor{ r_{1} \\
r_{2} \\
r_{3} \\
r_{4}}=\vektor{\lambda r_{1} \\
\lambda r_{2} \\
\lambda r_{3} \\
\lambda r_{4}}[/mm]
>
Ja.
> Desweiteren gilt ja (da [mm]\lambda[/mm] ja für alle Vektorzahlen
> gleich ist)
Das brauchst Du nicht zu schreiben. Natürlich steht [mm] \lambda [/mm] innerhalb einer Rechnung immer für diesselbe Zahl.
> [mm]\lambda r_1+ \lambda r_4[/mm] =
(Rechnen in [mm] \IR)
[/mm]
[mm] =\lambda(r_1+r_4)
[/mm]
der Vektor a ist aus [mm] V_2
[/mm]
> =[mm]\lambda[/mm] 2 [mm]r_2[/mm]
>
(Rechnen in [mm] \IR)
[/mm]
[mm] =2*(\lambda r_2).
[/mm]
Also ist [mm] \lambdaa \in V_2.
[/mm]
> Also ist [mm]V_2[/mm] ein Unterraum,
da die drei Unterraumkriterien erfüllt sind.
LG Angela
>
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| Aufgabe 1 | [mm] V_3:={(x_1,x_2,x_3)\varepsilon\IR^3 | x_2 = 0}
[/mm]
ist ein Untervektorraum oder? Also das ist zumindest mal mein Ergebnis |
| Aufgabe 2 | [mm] V_4:=[0,1]x\IR
[/mm]
[mm] V_5:={0}x\IR [/mm] |
Habe noch 2 Fragen zu 3 Aufgaben. Bzw. ob bei einer meine Lösung richtig ist und für die anderen 2 brauch ich nur einen ansatz.
Bei [mm] V_4 [/mm] und [mm] V_5 [/mm] weiß ich nicht genau was ich tun soll. Versteh ich das richtig das 0 und 1 mit allen Relationen Zahlen verkettet werden? Wenn das so ist sollte es sich ja um einen Vektorraum handeln und beweisen Lassen.
Beziehungsweise bei [mm] V_5 [/mm] sollte sich die Leere menge Beweisen lassen aber sonst nichts da es ja nur 0 enthält. Richtig?> Überprüfen Sie, welche der folgenden Mengen
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> [mm]V_3:={(x_1,x_2,x_3)\varepsilon\IR^3 | x_2 = 0}[/mm]
> ist ein
> Untervektorraum oder? Also das ist zumindest mal mein
> Ergebnis
Hallo,
ja, dieses Ergebnis ist richtig.
> [mm]V_4:=[0,1]x\IR[/mm]
> [mm]V_5:=\{0}\x\IR[/mm]
> Habe noch 2 Fragen zu 3 Aufgaben. Bzw. ob bei einer meine
> Lösung richtig ist und für die anderen 2 brauch ich nur
> einen ansatz.
>
> Bei [mm]V_4[/mm] und [mm]V_5[/mm] weiß ich nicht genau was ich tun soll.
> Versteh ich das richtig das 0 und 1 mit allen Relationen
> Zahlen verkettet werden?
Was sind denn Relationenzahlen? Meinst Du vielleicht reelle Zahlen?
In [0,1] sind allle [mm] x\in \IR [/mm] mit [mm] 0\le x\le [/mm] 1.
[mm] [0,1]x\IR [/mm] sind alle Zahlenpaare, deren erster Eintrag aus [0,1] ist und dreren zweiter irgendeine reelle Zahl.
> Wenn das so ist sollte es sich ja
> um einen Vektorraum handeln und beweisen Lassen.
Selbst wenn es so wäre, wie Du es sagst, also in der Menge nur Paare (0,y) und (1,y) enthalten wären, wäre das doch kein Unterraum: was ist, wenn Du (1, [mm] \bruch{1}{100})+(1,\wurzel{2}) [/mm] rechnest?
> Beziehungsweise bei [mm]V_5[/mm] sollte sich die Leere menge
> Beweisen lassen aber sonst nichts da es ja nur 0 enthält.
??? Mach keine Witze! Die leere Menge ist leer. Nix drin. Empty.
[mm] \{0\} [/mm] ist nicht leer! Da ist doch ein Element drin, man sieht es doch geradezu.
In [mm] \{0}\x\IR[/mm] [/mm] sind alle zahlenpaare, deren erste Komponente 0 ist, und dren zweite irgendeine reelle Zahl.
LG Angela
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| Aufgabe 1 | [mm] V_4:=[0,1]x\IR [/mm] = 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
[mm] V_4\not=\emptyset [/mm] da [mm] \vektor{0 \\ 0} \varepsilon V_4
[/mm]
Es sei a,b [mm] \varepsilon V_4 [/mm] mit [mm] a=\vektor{r_1 \\ r_2} [/mm] und [mm] b=\vektor{s_1 \\ s_2} [/mm]
a+b = [mm] \vektor{r_1 \\ r_2}+\vektor{s_1 \\ s_2} [/mm] = [mm] \vektor{r_1+s_1 \\ r_2+s_2}
[/mm]
Sagen wir einfach mal [mm] r_1 [/mm] = 0,88 und [mm] s_1 [/mm] = 0,97 (ist beides [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] \le [/mm] 1
dann ist [mm] r_1 [/mm] + [mm] s_1 [/mm] = 1,85 [mm] \ge [/mm] 1 also [mm] \not\varepsilon V_4
[/mm]
Daraus folgt, [mm] V_4 [/mm] ist kein Unterraum. |
| Aufgabe 2 | [mm] V_5:={0}x\IR
[/mm]
[mm] V_5\not=\not=\emptyset [/mm] da [mm] \vektor{0 \\ 0} \varepsilon V_4
[/mm]
Es sei a,b [mm] \varepsilon V_4 [/mm] mit [mm] a=\vektor{r_1 \\ r_2} [/mm] und [mm] b=\vektor{s_1 \\ s_2} [/mm]
a+b = [mm] \vektor{r_1 \\ r_2}+\vektor{s_1 \\ s_2} [/mm] = [mm] \vektor{r_1+s_1 \\ r_2+s_2}
[/mm]
Da nur die 0 [mm] \varepsilon [/mm] von [mm] V_5 [/mm] ist muss [mm] r_1 [/mm] und [mm] s_1 [/mm] = 0 sein, 0+0 = 0, also ist dieses kriterium auch erfüllt.
[mm] \lambda [/mm] a = [mm] \lambda\vektor{r_1 \\ r_2} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda r_1 \\ \lambda_r2}
[/mm]
[mm] \lamdra [/mm] * 0 = 0
Also ist auch dieses kriterium erfüllt. Also ist [mm] V_5 [/mm] ein vektorraum. |
Soweit so richtig oder bei [mm] V_4 [/mm] auf dem komplett falschen Dampfer?
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Hallo ObiWan,
> [mm]V_4:=[0,1]x\IR[/mm] = 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
>
> [mm]V_4\not=\emptyset[/mm] da [mm]\vektor{0 \\
0} \varepsilon V_4[/mm]
>
> Es sei a,b [mm]\varepsilon V_4[/mm] mit [mm]a=\vektor{r_1 \\
r_2}[/mm] und
> [mm]b=\vektor{s_1 \\
s_2}[/mm]
>
> a+b = [mm]\vektor{r_1 \\
r_2}+\vektor{s_1 \\
s_2}[/mm] =
> [mm]\vektor{r_1+s_1 \\
r_2+s_2}[/mm]
>
> Sagen wir einfach mal [mm]r_1[/mm] = 0,88 und [mm]s_1[/mm] = 0,97 (ist beides
> [mm]\ge[/mm] 0 und [mm]\le[/mm] 1
> dann ist [mm]r_1[/mm] + [mm]s_1[/mm] = 1,85 [mm]\ge[/mm] 1 also [mm]\not\varepsilon V_4[/mm]
>
> Daraus folgt, [mm]V_4[/mm] ist kein Unterraum.
Genau, ich bin immer bestrebt, möglichst "einfache" und "glatte" Beispiele zu nehmen, ich hätte an [mm]a=b=\vektor{1\\
0}[/mm] gedacht ...
Aber du hast das auch völlig richtig!
> [mm]V_5:={0}x\IR[/mm]
>
> [mm]V_5\not=\not=\emptyset[/mm] da [mm]\vektor{0 \\
0} \varepsilon V_4[/mm]
[mm]V_4[/mm] oder [mm]V_5[/mm] ??
>
> Es sei a,b [mm]\varepsilon V_4[/mm] mit [mm]a=\vektor{r_1 \\
r_2}[/mm] und
> [mm]b=\vektor{s_1 \\
s_2}[/mm]
Wieder? [mm]V_4[/mm] oder [mm]V_5[/mm]?
Du musst konsistenter aufschreiben!
>
> a+b = [mm]\vektor{r_1 \\
r_2}+\vektor{s_1 \\
s_2}[/mm] =
> [mm]\vektor{r_1+s_1 \\
r_2+s_2}[/mm]
>
> Da nur die 0 [mm]\varepsilon[/mm] von [mm]V_5[/mm] ist
Wer soll so ein Gemurkse verstehen?
Dahinter steckt kein Sinn!
> muss [mm]r_1[/mm] und [mm]s_1[/mm] = 0
> sein, 0+0 = 0, also ist dieses kriterium auch erfüllt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sauberer würde man schreiben: Da [mm] $a,b\in V_5$, [/mm] haben sie die Gestalt [mm] $a=\vektor{0\\r_2}, b=\vektor{0\\s_2}$ [/mm] usw. ...
>
> [mm]\lambda[/mm] a = [mm]\lambda\vektor{r_1 \\
r_2}[/mm] = [mm]\vektor{\lambda r_1 \\
\lambda_r2}[/mm]
>
> [mm]\lamdra[/mm] * 0 = 0
Was steht da?
>
> Also ist auch dieses kriterium erfüllt. Also ist [mm]V_5[/mm] ein
> vektorraum.
Jo!
> Soweit so richtig oder bei [mm]V_4[/mm] auf dem komplett falschen
> Dampfer?
Beides ist richtig, aber du musst besser aufschreiben! Wenn du so in der Klausur schluderst, bekommst du nicht viele Punkte, obwohl du es (eigentlich) richtig hast (bzw. meinst).
Aber Korrekteure "reimen" sich nicht gerne Dinge zusammen, sie überfliegen das i.d.R. nur und korrigieren dann entsprechend!
Also für die Ergebnisse, ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") für den "Aufschrieb" 
Arbeite etwas daran, dann wird alles gut!
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe 1 | Es sei [mm] \IR [x]={a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 | n \varepsilon \IN, a_i \varepsilon \IR , i = 0,1,...,n} [/mm] die Menge aller reellen Polynome. Bekanntlich könnne zwei Polynome addiert und multipliziert und mit einer reellen Zahl skalar multipliziert werden. Für die reellen Polynome p= [mm] \summe_{i=0}^{n}p_i x^i [/mm] und q= [mm] \summe_{i=0}^{n}q_i x^i [/mm] (n [mm] \varepsilon \IN) [/mm] und die reelle Zahl [mm] \lambda [/mm] gilt:
[mm] p+q=\summe_{i=0}^{n}(p_i [/mm] + [mm] q_i)x^i [/mm] - Addition
[mm] p*q=\summe_{j=0}^{n}\summe_{i=0}^{n}p_i q_j x^{i+j} [/mm] - Multiplikation
[mm] \lambda [/mm] * p = [mm] \summe_{i=0}^{n}\lambda p_i x^i
[/mm]
Bemerkung: Da die Koeffizienten [mm] p_i [/mm] und [mm] q_i [/mm] (i [mm] \varepsilon [/mm] {0,1,...,n} auch gleich Null sein dürfen, beinhaltet die obige Definition auch die Addition und Multiplikation von Polynomen unterschiedlichen Grades.
(a) Zeige, dass [mm] (\IR[x],+,*) [/mm] ein [mm] \IR [/mm] - Vektorraum ist.
(b) Ist (IR[x],+,*) ein Körper? |
| Aufgabe 2 | Für welche Werte t [mm] \varepsilon \IR [/mm] sind die Vektoren
[mm] v_1 =\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, v_2=\vektor{t \\ -2 \\ 1}, v_3=\vektor{0 \\ t \\ 2}
[/mm]
linear abhängig.
Mein Ansatz :
[mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] v_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] v_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] v_3
[/mm]
[mm] \vmat{ \lambda_1 & + \lambda_2 \\ \lambda_1 & -2 \lambda_2 & +\lambda_3 \\ \lambda_1 & +\lambda_2 & +2*\lambda_3 } [/mm] |
Hallo ein letztes mal Ich zum Thema Vektorrechnung (vorerst...) ...
Bei Aufgabe 1. habe ich absolut keine Idee was zu tun ist.
Und bei Aufgabe 2 ist der Ansatz richtig?
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> Es sei [mm]\IR [x]={a_n x^n + ... + a_1 x + a_0 | n \varepsilon \IN, a_i \varepsilon \IR , i = 0,1,...,n}[/mm]
> die Menge aller reellen Polynome. Bekanntlich könnne zwei
> Polynome addiert und multipliziert und mit einer reellen
> Zahl skalar multipliziert werden. Für die reellen Polynome
> p= [mm]\summe_{i=0}^{n}p_i x^i[/mm] und q= [mm]\summe_{i=0}^{n}q_i x^i[/mm]
> (n [mm]\varepsilon \IN)[/mm] und die reelle Zahl [mm]\lambda[/mm] gilt:
> [mm]p+q=\summe_{i=0}^{n}(p_i[/mm] + [mm]q_i)x^i[/mm] - Addition
> [mm]p*q=\summe_{j=0}^{n}\summe_{i=0}^{n}p_i q_j x^{i+j}[/mm] -
> Multiplikation
> [mm]\lambda[/mm] * p = [mm]\summe_{i=0}^{n}\lambda p_i x^i[/mm]
>
> Bemerkung: Da die Koeffizienten [mm]p_i[/mm] und [mm]q_i[/mm] (i [mm]\varepsilon[/mm]
> {0,1,...,n} auch gleich Null sein dürfen, beinhaltet die
> obige Definition auch die Addition und Multiplikation von
> Polynomen unterschiedlichen Grades.
>
> (a) Zeige, dass [mm](\IR[x],+,*)[/mm] ein [mm]\IR[/mm] - Vektorraum ist.
> (b) Ist (IR[x],+,*) ein Körper?
>
>
>
> Für welche Werte t [mm]\varepsilon \IR[/mm] sind die Vektoren
>
> [mm]v_1 =\vektor{1 \\
1 \\
1}, v_2=\vektor{t \\
-2 \\
1}, v_3=\vektor{0 \\
t \\
2}[/mm]
>
> linear abhängig.
>
> Mein Ansatz :
> [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]v_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]v_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] * [mm]v_3[/mm]
> [mm]\vmat{ \lambda_1 & + \lambda_2 \\
\lambda_1 & -2 \lambda_2 & +\lambda_3 \\
\lambda_1 & +\lambda_2 & +2*\lambda_3 }[/mm]
>
>
>
> Hallo ein letztes mal Ich zum Thema Vektorrechnung
> (vorerst...) ...
>
> Bei Aufgabe 1. habe ich absolut keine Idee was zu tun ist.
Hallo,
nun, da Du in Aufg. 1) zeigen sollst, daß die Menge ein VR ist, bietet es sich doch wirklich an, die entsprechenden Axiome eins nach dem anderen nachzuweisen.
Bevor Du irgendwas rechnest, mußt Du gucken, welche der Verknüpfungen die für "Vektorraum" relevanten sind.
Der Frage nach "Körper" gehe erst im Anschluß auf den Grund. Einen Teil der zu prüfenden Eigenschaften arbeitest Du im Zuge der VR-Prüfung ab.
>
> Und bei Aufgabe 2 ist der Ansatz richtig?
Er jedenfalls ausbaufähig.
Zunächst mal muß es heißen [mm]\lambda_1[/mm] * [mm]v_1[/mm] + [mm]\lambda_2[/mm] * [mm]v_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] * [mm]v_3[/mm][mm] \red{=\vektor{0\\0\\0}}.
[/mm]
Wenn Du nun das sich hieraus ergebene GS löst, kannst Du erfahren, für welche t die drei Vektoren linear unabhängig sind und für welche abhängig.
In die "normale" Koeffizientenmatrix gehören aber nicht die [mm] \lambda_i, [/mm] sondern nur die Faktoren davor.
Anderer Ansatz: bestimme den den Rang der Matrix (=Dimension des von den Spalten aufgespannten Raumes), welche die drei Vektoren in den Spalten enthält. Für die t, für welche der Rang=3 ist, sind sie unabhängig, für die anderen abhängig.
LG Angela
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