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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Do 20.01.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab hier einen Beweis durchgeführt, wo ich mir unsicher bin, ob das, was ich gemacht hab richtig ist. Könnte jemand mir bitte vielleicht weiter helfen oder korrigieren?
Zunächst erstmal die Aufgabe:
Sei K ein Körper und sei V= {f: [mm] \IN \to [/mm] K | f(n)=0 für fast alle n [mm] \in \IN}. [/mm] V wird mit den üblichen Operaitonen + und * versehen und ist dann ein K-VR. Zu zeigen ist, es ex. Unterrräume U,W [mm] \subseteq [/mm] V mit:
i) V,U,W sind paarweise isomorph
ii) V = U [mm] \oplus [/mm] W
Meine Lösung:
zu i) Es muss doch gelten V [mm] \cong [/mm] U, U [mm] \cong [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] V [mm] \cong [/mm] W oder?
Isomorphie zeigt man doch durch Wohldefniertheit, Linearität und Bijektivität oder?
Zunächst hab ich die Wohldef. gezeigt für V [mm] \cong [/mm] U:
Gelte f(n) = f(m)
0=f(n+0)=f(m+0)=f(m)=0
Stimmt das?
Dann f ist linear:
f(n+m)=0=0+0=f(n)+f(m)
Sei a [mm] \in [/mm] K, dann (af)n = af(n)=a*0 = 0 = f(an)
Wenn das falsch ist, bitte ich um Korrektur.
f ist injektiv:
Gelte f(n)=f(m)
f ist injektiv [mm] \equiv \forall [/mm] n,m [mm] \in \IN: [/mm] (f(n)=f(m) [mm] \to [/mm] n=m) [mm] \equiv \forall [/mm] n,m [mm] \in \IN: [/mm] (f(n-m) = 0 \ to n-m=0) [mm] \equiv \forall [/mm] z [mm] \in \IN [/mm] : f(z)=0 [mm] \to [/mm] z=0) [mm] \equiv [/mm] ker f =0 denn kerf = { n [mm] \in \IN [/mm] | f(n)=0}
Hier bin ich mir unsicher ob das n [mm] \in \IN [/mm] sein soll oder man ein Vektor x [mm] \in [/mm] V wählen soll. weil der ker f ist doch so def. ker f={ x [mm] \in [/mm] V| f(x)=0}.
f ist surjektiv:
Gelte f(n)=0
Daraus folgt n=0 da ker f = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] V [mm] \cong [/mm] U.
Analoger Beweis für V [mm] \cong [/mm] W. Insgesamt folgt dann U [mm] \cong [/mm] W.
Ich bin mir bei diesem Beweis total unsicher. Ich bitte deshalb um Hilfe.
ii) Z.Z.: V = U [mm] \oplus [/mm] W
Zunächst hab ich V=U+W gezeigt.
Sei v= u + w. Da u [mm] \in [/mm] U und [mm] w\inW [/mm] kann man beide als 0 wählen. Dann folgt 0+0=0 also v=0. Daraus folgt auch die Direktheit.
Stimmt das?
Danke für eure Hilfe.
Moe007
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mi 26.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Du gibst ja $U$ und $W$ gar nicht an, wie willst du das Isomorphien beweisen? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich würde es mal mit
[mm] $U=\{f \in V\, : \, f(n) =0 \ \mbox{für alle geraden n}\}$
[/mm]
und
[mm] $W=\{f \in V\, : \, f(n) =0 \ \mbox{für alle ungeraden n}\}$
[/mm]
versuchen.
Dann gilt offenbar
$V = U [mm] \oplus [/mm] W$,
und die Isomorphien erhält man einfach durch Indexverschiebungen.
Viele Grüße
Julius
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