Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 So 28.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Sind die folgenden Mengen Untervektorräume bekannter Vektorräume?
a) die reellen n [mm] \times [/mm] m Matrizen, deren Summe der Koeffizienten Null ist
b) die invertierbaren reellen n [mm] \times [/mm] n Matrizen
c) die linearen Funktionen [mm] \IR->\IR [/mm] |
Hallo,
mit Vektorräumen und besonders mit Untervektorräumen habe ich noch besonders Schwierigkeiten.
Die drei Eigenschaften, die ein UVR erfüllen muss sind mir klar, aber trotzdem weiß ich nicht, wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll.
Die Vektorräume die wir schon kennen sind:
1) ({0,1,+,*}) ein {0,1}- Vektorraum
2) [mm] (\IR,+,*) [/mm] ein [mm] \IR- [/mm] Vektorraum
3) [mm] (M_{2 \times 3}(\IQ),+,*) [/mm] ein [mm] \IQ-Vektorraum
[/mm]
Wovei [mm] M_{2\times3} (\IQ) [/mm] die 2 [mm] \times [/mm] 3 Matrizen mit rationalen Koeffizienten sind.
4) [mm] (M_{2 \times 3}(\IZ),+,*) [/mm] ein [mm] \IZ-Vektorraum
[/mm]
Ok um zu prüfen ob es sich um ein Untervektorraum handelt, muss ich gucken, ob es die drei Eigenschaften erfüllt, aber wie prüfe ich, ob es ein UVR von einem der oben genannten VR ist?
Bin über jeden Tipp dankar!
Lg Melisa
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Hallo melisa1,
> Sind die folgenden Mengen Untervektorräume bekannter
> Vektorräume?
>
> a) die reellen n [mm]\times[/mm] m Matrizen, deren Summe der
> Koeffizienten Null ist
> b) die inventierbaren reelen n [mm]\times[/mm] n Matrizen
Davon habe ich in meinem bisherigen mathematischen Leben noch nie etwas gehört.
Wohl aber von invertierbaren reellen [mm]n\times n[/mm]-Matrizen ...
Meinst du die vielleicht?
> c) die linearen Funktionen [mm]\IR->\IR[/mm]
> Hallo,
>
>
> mit Vektorräumen und besonders mit Untervektorräumen habe
> ich noch besonders Schwierigkeiten.
> Die drei Eigenschaften, die ein UVR erfüllen muss sind
> mir klar, aber trotzdem weiß ich nicht, wie ich an diese
> Aufgabe ran gehen soll.
> Die Vektorräume die wir schon kennen sind:
>
> 1) ({0,1,+,*}) ein {0,1}- Vektorraum
> 2) [mm](\R,+,*)[/mm] ein [mm]\R-[/mm] Vektorraum
> 3) [mm](M_{2 \times 3}(\IQ),+,*)[/mm] ein [mm]\IQ-Vektorraum[/mm]
> Wovei [mm]M_{2\times3} (\IQ)[/mm] die 2 [mm]\times[/mm] 3 Matrizen mit
> rationalen Koeffizienten sind.
> 4) [mm](M_{2 \times 3}(\IZ),+,*)[/mm] ein [mm]\IZ-Vektorraum[/mm]
>
>
> Ok um zu prüfen ob es sich um ein Untervektorraum handelt,
> muss ich gucken, ob es die drei Eigenschaften erfüllt,
> aber wie prüfe ich, ob es ein UVR von einem der oben
> genannten VR ist?
Gar nicht ...
(Abgesehen davon, dass man das kaum lesen kann ... - was ist zB. 2)?)
Benutze vor dem Absenden bitte die Vorschaufunktion!
Wenn du in b) die Menge der invertierbaren [mm]n\times n[/mm]-Matrizen über [mm]\IR[/mm] als Teilmenge aller [mm]n\times n[/mm]-Matrizen, die mit der Addition ja einen VR bilden, auffasst, so versuche mal zu widerlegen, dass die Summe zweier invertierbaren [mm]n\times n[/mm]-Matrizen wieder invertierbar ist.
Bei c) habt ihr vllt. den VR aller Abbildungen von [mm]\IR\to\IR[/mm] kennengelernt mit der (punktweisen) Addition von Funktionen: [mm](f+g)(x)=f(x)+g(x)[/mm]
Zeige, dass die Menge der linearen Abb. einen Unterraum dieses VR bildet
Bei a) zeige, dass die Menge [mm]U[/mm] reellen [mm]n\times n[/mm]-Matrizen einen UVR von [mm](M_{n\times n}(\IR),+)[/mm] bildet.
Klappere die 3 Punkte ab?
(1) Ist [mm]U\neq\emptyset[/mm]?
(2) Ist mit [mm]A,B\in U[/mm] auch [mm]A+B\in U[/mm]
(3) Ist mit [mm]A\in U, \lambda\in\IR[/mm] auch [mm]\lambda A\in U[/mm]
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> Bin über jeden Tipp dankar!
>
>
>
> Lg Melisa
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 28.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
sry wegen meinen Fehlern, habs jetzt verbessert.
> Wenn du in b) die Menge der invertierbaren [mm]n\times n[/mm]-Matrizen
> über [mm]\IR[/mm] als Teilmenge aller [mm]n\times n[/mm]-Matrizen, die mit
> der Addition ja einen VR bilden, auffasst, so versuche mal
> zu widerlegen, dass die Summe zweier invertierbaren [mm]n\times n[/mm]-Matrizen
> wieder invertierbar ist.
>
Ich habe:
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 } B=\pmat{ 1 & 0 \\ 2 & 3 }
[/mm]
[mm] A^{-1}=-\bruch{1}{3}\pmat{ 1 & -2 \\ -2 & 1 }
[/mm]
[mm] B^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\ -\bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} }
[/mm]
[mm] A+B=\pmat{ 2 & 2 \\ 4 & 4 }=C
[/mm]
[mm] \pmat{ 2 & 2 |1 & 0\\ 4 & 4|0&1 } [/mm] -> [mm] \pmat{ 2 & 2 |1 & 0\\ 0 & 0|-4&1 }
[/mm]
also ist c nicht invertierbar und somit kein UVR hab ich das richtig verstanden?
Lg Melisa
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> sry wegen meinen Fehlern, habs jetzt verbessert.
>
>
> > Wenn du in b) die Menge der invertierbaren [mm]n\times n[/mm]-Matrizen
> > über [mm]\IR[/mm] als Teilmenge aller [mm]n\times n[/mm]-Matrizen, die mit
> > der Addition ja einen VR bilden, auffasst, so versuche mal
> > zu widerlegen, dass die Summe zweier invertierbaren [mm]n\times n[/mm]-Matrizen
> > wieder invertierbar ist.
> >
>
>
> Ich habe:
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 \\
2 & 1 } B=\pmat{ 1 & 0 \\
2 & 3 }[/mm]
>
> [mm]A^{-1}=-\bruch{1}{3}\pmat{ 1 & -2 \\
-2 & 1 }[/mm]
>
> [mm]B^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\
-\bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} }[/mm]
>
>
> [mm]A+B=\pmat{ 2 & 2 \\
4 & 4 }=C[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 2 & 2 |1 & 0\\
4 & 4|0&1 }[/mm] -> [mm]\pmat{ 2 & 2 |1 & 0\\
0 & 0|-4&1 }[/mm]
>
>
> also ist c nicht invertierbar und somit kein UVR hab ich
> das richtig verstanden?
Jo, die Abeschlossenheitseigenschaft ist verletzt!
>
>
> Lg Melisa
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 28.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal  ,
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> Bei c) habt ihr vllt. den VR aller Abbildungen von
> [mm]\IR\to\IR[/mm] kennengelernt mit der (punktweisen) Addition von
> Funktionen: [mm](f+g)(x)=f(x)+g(x)[/mm]
>
> Zeige, dass die Menge der linearen Abb. einen Unterraum
> dieses VR bildet
>
Um sicher zu gehen habe ich nochmal mein Skript gelesen, aber dass hatten wir noch nicht. Kann man das auch anders machen?
> Bei a) zeige, dass die Menge [mm]U[/mm] reellen [mm]n\times n[/mm]-Matrizen
> einen UVR von [mm](M_{n\times n}(\IR),+)[/mm] bildet.
>
muss das nicht n [mm] \times [/mm] m sein wie bei der Aufgabenstellung?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, [mm] n\times [/mm] n
das mit den lin. fkt schreib am besten hin. wie sieht den da f(x) allgemein aus? wenn du 2 addierst, oder eine mit r mult. gehört sie dann dazu?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 28.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
> Hallo
> ja, [mm]n\times[/mm] n
sry aber warum n [mm] \times [/mm] n wenn in der Aufgabe n [mm] \times [/mm] m steht?
Tut mir leid, aber ich versteh das nicht :-S
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 Mo 29.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, jetzt wollte ich dir recht geben und ja [mm] n\times [/mm] m schreiben und dann hat der Tipfehlerteufel zugeschlagen!
natürlich hast du Recht. aber für [mm] n\times [/mm] n und [mm] n\times [/mm] n lauft der Beweis völlig gleich, also ist das egal.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:19 Mo 29.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Guten Morgen
> Hallo
> ja, [mm]n\times[/mm] n
> das mit den lin. fkt schreib am besten hin. wie sieht den
> da f(x) allgemein aus? wenn du 2 addierst, oder eine mit r
> mult. gehört sie dann dazu?
> Gruss leduart
>
ich weiß nicht ob ich dich richtig versteh, aber
bei linearen Funktionen haben wir ja
f(x)=mx+b
2 wäre dann b und r dasselbe wie m und ja sie gehören dazu :-S ?????
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei f(x) = mx+b und g(x)= Mx+B
Wie sieht f+g aus ?
Wie sieht r*f aus ? (r [mm] \in\IR)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Mo 29.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo,
> Sei f(x) = mx+b und g(x)= Mx+B
>
> Wie sieht f+g aus ?
f+g=mx+b+Mx+B ??????????
>
> Wie sieht r*f aus ? (r [mm]\in\IR)[/mm]
>
r*f=r(mx+b)=rmx+rb ???
Lg Melisa
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
>
>
> > Sei f(x) = mx+b und g(x)= Mx+B
> >
> > Wie sieht f+g aus ?
>
>
>
> f+g=mx+b+Mx+B ??????????
Das ist doch Quark, was soll das denn bedeuten, was du da aufgeschrieben hast?
Äpfel=Birnen
Wie ist denn die Addition von Funktionen $f,g$, die von [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] abbilden, definiert?
Doch punktweise: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ für alle [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Ebenso die Mult. mit Skalaren.
Und Funktionen sind gleich, wenn sie in jedem Funktionswert übereinstimmen!
>
>
> >
> > Wie sieht r*f aus ? (r [mm]\in\IR)[/mm]
> >
>
>
> r*f=r(mx+b)=rmx+rb ???
Das musst du wie oben bei der Addition mal richtig aufschreiben, dann stimmt es schon!
>
>
> Lg Melisa
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Mo 29.11.2010 | | Autor: | melisa1 |
ohw ok :-S
Die skalare Multiplikation von f mit a ist punktweise so definiert:
(a*f)(x) := a*f(x) für alle x.
und wie mache ich das jetzt mit dem UVR?
Lg Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mo 29.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Auf der Schule werden zwar oft Funktionen, deren Graph eine Gerade= Linie ist als linear bezeichnet. aber f(x)=mx+b ist keine lineare Funktion! (sie heisst affin)
Welche Bed. muss eine lineare fkt erfüllen? warum tut das f=mx+bnicht?
Zu deiner Frage:
Schreib dir die Kriterien für einen VR auf und prüf sie nach.
Gruss leduart
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