Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Fr 25.06.2010 | | Autor: | dannyf86 |
| Aufgabe | Sei (V,+, ·) ein K-Vektorraum. Zeigen Sie folgende Charakterisierung von Unterräumen: (U,+, ·) ist ein Unterraum von (V,+, ·), genau dann, wenn folgende vier Eigenschaften
erfüllt sind:
(i) U [mm] \subseteq [/mm] V ,
(ii) U [mm] \not=\emptyset
[/mm]
(iii) für alle v,w [mm] \in [/mm] U ist v + w [mm] \in [/mm] U
(iv) für alle [mm] \lambda \in [/mm] K und v 2 U ist [mm] \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] U |
Hallo,
ich habe mal wieder eine Frage.
Meiner Meinung nach ist das doch die Definition von Untervektorräumen. Wie beweist man den eine Definition?
Wäre über Hilfe echt dankbar.
|
|
| |
|
Hallo dannyf86,
> Sei (V,+, ·) ein K-Vektorraum. Zeigen Sie folgende
> Charakterisierung von Unterräumen: (U,+, ·) ist ein
> Unterraum von (V,+, ·), genau dann, wenn folgende vier
> Eigenschaften
> erfüllt sind:
>
> (i) U [mm]\subseteq[/mm] V ,
> (ii) U [mm]\not=\emptyset[/mm]
> (iii) für alle v,w [mm]\in[/mm] U ist v + w [mm]\in[/mm] U
> (iv) für alle [mm]\lambda \in[/mm] K und v 2 U ist [mm]\lambda[/mm] v [mm]\in[/mm]
> U
> Hallo,
>
> ich habe mal wieder eine Frage.
> Meiner Meinung nach ist das doch die Definition von
> Untervektorräumen. Wie beweist man den eine Definition?
Das ist eine Charakterisierung des Begriffs Unterraum bzw. ein Kriterium dafür, dass U ein UVR von V ist.
Zunächst einmal ist ein Unterraum U von V eine Teilmenge von V, die mit den auf U eingeschränkten Verknüpfungen selber wieder ein Vektorraum ist.
Du sollst nun die Äquivalenz zwischen "Teilmenge von V, die selber VR ist" und "Charakterisierung" zeigen ...
> Wäre über Hilfe echt dankbar.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Fr 25.06.2010 | | Autor: | dannyf86 |
Wir müssen doch nur prüfen, dass [mm] \overrightarrow{0} \in [/mm] U und dass mit u [mm] \in [/mm] U auch −u [mm] \in [/mm] U
ist. Alle anderen Vektorraumaxiome müssten doch dann erfüllt sein, da sie in V gelten. Also gibt es ein u [mm] \in [/mm] U und es folgt: [mm] \overrightarrow{0} [/mm] = 0u [mm] \in [/mm] U
Ist u [mm] \in [/mm] U beliebig, dann gilt: −u = (−1)u [mm] \in [/mm] U.
reicht das? kann ich dass so schreiben? aber damit hab ich ja nicht alles gezeigt. kannst du mir weiter helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Fr 25.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Teilmenge von V kann doch z. Bsp einfach ne Sammlung von 7 einzelnen Vektoren sein. ann gelten doch nicht automatisch alle VR Gesetze?
Du musst schon sagen, dass der UR ein VR ist, nur wenn die genannten Kriterien gelten.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Fr 25.06.2010 | | Autor: | dannyf86 |
mmh ok, aber wie mach ich das? hat jemand vllt nen ansatz oder so. ich weis da echt nicht weiter.
|
|
|
| |
|
Naja, wie vorher schon von den Professionals beschrieben, gilt es hier, die Äquivalenz dieser 4 Bedingungen mit den Vektorraumaxiomen zu zeigen.
Beispiel:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Also nehmen wir jetzt an, dass für U diese 4 Bedingungen gelten.
Ein Vektorraumaxiom ist die Kommutativität, also musst du zeigen:
[mm] \forall [/mm] u,v [mm] \in [/mm] U gilt: u + v = v + u
Weil unter den 4 Bedingungen auch dabei steht, dass U [mm] \subseteq [/mm] V, sind alle Elemente aus U auch Elemente aus V. V ist ein Vektorraum, also gilt für dessen Elemente die Kommutativität und somit auch für die Elemente aus U.
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Bei der anderen Richtung ist also jetzt vorausgesetzt, dass U alle Vektorraumaxiome erfüllt und du musst zeigen, dass diese 4 Bedingungen gelten. Das ist auch nicht so wahnsinnig schwer.
Beispiel: Ein Vektorraum ist abgeschlossen, also ist U abgeschlossen (weil es ja nach VAS Vektorraum ist) und somit ist u+v [mm] \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] u,v [mm] \in [/mm] U
Es ist ein bisschen Aufschreibarbeit, mehr aber auch nicht.
Gruß,
Martin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Fr 25.06.2010 | | Autor: | dannyf86 |
ok danke für die hilfe. ich jez was ich machen muss
|
|
|
|
