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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Sa 22.03.2008 | | Autor: | matheII |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es ist zu untersuchen, ob für alle i [mm] \in [/mm] {1,2,3,4,5} die Menge [mm] K_{i} [/mm] ein Unterraum der Menge [mm] X_{i} [/mm] ist, und dies zu Begründen, in dem man Definitionen:
1. 0 [mm] \in [/mm] U.
2. v, w [mm] \in [/mm] U => v + w [mm] \in [/mm] U.
3. v [mm] \in [/mm] U => av [mm] \in [/mm] U. verwendet.
[mm] K_3:={(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\IR^{4}: -2x_1²+3x_2²+4x_3²-5x_4²=0} [/mm] und [mm] X_3:=\IR^{4}
[/mm]
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Hallo,
kann mir jemand die Begrundung erklären.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Es ist zu untersuchen, ob für alle i [mm]\in[/mm] {1,2,3,4,5} die
> Menge [mm]K_{i}[/mm] ein Unterraum der Menge [mm]X_{i}[/mm] ist, und dies zu
> Begründen, in dem man Definitionen:
> 1. 0 [mm]\in[/mm] U.
> 2. v, w [mm]\in[/mm] U => v + w [mm]\in[/mm] U.
> 3. v [mm]\in[/mm] U => av [mm]\in[/mm] U. verwendet.
>
> [mm]K_3:=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\IR^{4}: -2x_1²+3x_2²+4x_3²-5x_4²=0\}[/mm]
> und [mm]X_3:=\IR^{4}[/mm]
>
> Hallo,
>
> kann mir jemand die Begrundung erklären.
ehrlich gesagt verstehe ich Deine Frage nicht, denn welche Begründung willst Du erklärt haben? Wenn Du wissen willst, warum [mm] $K_3$ [/mm] kein Vektorraum über [mm] $\IR$ [/mm] sein kann, dann ist die Antwort, weil 2. von oben verletzt ist:
Wenn man guckt:
Folgt aus
[mm] $u=(u_1,u_2,u_3,u_4) \in K_3$ [/mm] und [mm] $v=(v_1,v_2,v_3,v_4) \in K_3$ [/mm] stets, dass [mm] $u+v=(u_1+v_1, u_2+v_2, u_3+v_3, u_4+v_4) \in K_3$? [/mm]
Also:
Wenn $u [mm] \in K_3$, [/mm] was genau dann gilt, wenn [mm] $-2u_1^2+3u_2^2+4u_3^2-5u_4^2=0$ $(\*)$, [/mm] und wenn $v [mm] \in K_3$, [/mm] was genau dann gilt, wenn [mm] $-2v_1^2+3v_2^2+4v_3^2-5v_4^2=0$ $(\*\*)$, [/mm] folgt dann $u+v [mm] \in K_3$?
[/mm]
Zu prüfen ist also:
Wenn [mm] $(\*)$ [/mm] und [mm] $(\*\*)$ [/mm] gelten, folgt dann schon, dass
[mm] $-2(u_1+v_1)^2+3(u_2+v_2)^2+4(u_3+v_3)^2-5(u_4+v_4)^2=0$ $(\*\*\*)$?
[/mm]
Wenn Du nun bei [mm] $(\*\*\*)$ [/mm] die linke Seite ausmultiplizierst, so erkennst Du, dass bei der ersten binomischen Formel [mm] $(r+s)^2=r^2+2rs+s^2$ [/mm] der mittlere Term $2rs$ evtl. stört. Konkret müssen wir aber mit einem Beispiel 2. widerlegen (oder die Existenz solcher $u,v$ begründen, so dass die "obigen Störterme" sich nicht doch immer alle aufheben, ich bevorzuge ein Beispiel von $u$ und $v$, das zeigt, dass 2. verletzt ist):
Es gilt [mm] $u=(\sqrt{2},0,1,0) \in K_3$, [/mm]
da [mm] $-2*\sqrt{2}^2+3*0^2+4*1^2-5*0^2=-4+4=0$
[/mm]
sowie
$v=(1,1,1,1) [mm] \in K_3$, [/mm] da
[mm] $-2*1^2+3*1^2+4*1^2-5*1^2=-2+3+4-5=1-1=0$
[/mm]
Aber es ist [mm] $u+v=(\sqrt{2}+1,1,2,1) \notin K_3$ [/mm] wegen
[mm] $-2(\sqrt{2}+1)^2+3*1^2+4*2^2-5*1^2=-4-4*\sqrt{2}-2+3+16-5$, [/mm]
wobei das schon alleine deshalb nicht $=0$ sein kann, weil $-4 [mm] \sqrt{2} \in \IR \setminus \IQ$ [/mm] und alle anderen Zahlen aber in [mm] $\IQ$ [/mm] liegen, d.h.:
[mm] $-2(1+\sqrt{2})^2+3*1^2+4*2^2-5*1^2 \notin \IQ$, [/mm] aber $0 [mm] \in \IQ$, [/mm] also:
[mm] $-2(1+\sqrt{2})^2+3*1^2+4*2^2-5*1^2 \not=0$
[/mm]
Damit gilt $u+v [mm] \notin K_3$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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