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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Mijoko |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für Untervektorräume [mm] U_1,U_2 [/mm] eines Vektorraums V stets gilt: Genau dann ist [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] ein Untervektorraum von V, wenn [mm] U_1 \subseteq U_2 [/mm] oder [mm] U_2 \subseteq U_1 [/mm] gilt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich komme einfach nicht klar. Ich habe das mit den Untervektorräumen auch nicht wirklich verstanden. Wäre toll, wenn mir das noch jemand erklären würde, denn ich hab noch viele andere Aufgaben mit Untervektorräumen zu machen und ich hab einfach keinen Ansatz.
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> Zeigen Sie, dass für Untervektorräume [mm]U_1,U_2[/mm] eines
> Vektorraums V stets gilt: Genau dann ist [mm]U_1 \cup U_2[/mm] ein
> Untervektorraum von V, wenn [mm]U_1 \subseteq U_2[/mm] oder [mm]U_2 \subseteq U_1[/mm]
> gilt.
> Ich komme einfach nicht klar. Ich habe das mit den
> Untervektorräumen auch nicht wirklich verstanden. Wäre
> toll, wenn mir das noch jemand erklären würde, denn ich hab
> noch viele andere Aufgaben mit Untervektorräumen zu machen
> und ich hab einfach keinen Ansatz.
Hallo,
dann ist also Deine eigentliche Frage gar nicht die, die Du im Aufgabenkästchen präsentierst,
Ich hoffe, daß Du weißt, was ein Vektorraum ist.
Weißt Du denn "intuitiv", welches die Untervektorräume des [mm] \IR^3, [/mm] des Anschauungsraumes sind?
Eine Teilmenge U eines Vektorraumes V heißt Untervektorraum v. V, wenn sie mit Verknüpfungen des VRes V selbst auch wieder ein Vektorraum ist. Das bedeutet, daß U ein Untervektorraum v. V ist, wenn U selbst ein vollwertiger Vektorraum ist.
Nun muß man zum Nachweis dafür, daß eine Teilmenge U von V ein Vektorraum ist, zum Glück nicht sämtliche Axiome nachweisen, denn da die Verknüpfungen dieselben sind, vererben sich einige Eigenschaften v. V auf U.
Dafür, daß U ein Untervektorraum vom VR V über K ist, muß man nur zeigen:
1. U ist nichtleer
2. U ist abgeschlossen bzgl +, dh. für [mm] u_1, u_2 \in [/mm] U ist auch [mm] u_1+ u_2 \in [/mm] U
3. U ist abgeschlossen bzgl der Multiplikatione mit Skalaren (also mit Elementen des Körpers), d.h.
für alle [mm] k\in [/mm] K gilt [mm] ku_1\in [/mm] U.
Du solltest jetzt erstmal versuchen, einige Beispiele für Untervektorräume nachzuvollziehen.
Wenn Du Dich dann später der Aufgabe naäher möchtest, so überlege Dir zunächst, warum die Vereinigung zweier Untervektorräume im allgemeinen kein Untervektorraum ist. Wenn Dir das klar ist, kannst Du mit der Bearbeitung der Aufgabe beginnen. Vorher halte ich es für sinnlos.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Mijoko |
Ich muss die Aufgabe aber machen, da dass unsere wöchentlichen Übungsaufgaben sind. Könntest du es mir nichtmal anhand eines Beispieles zeigen oder mir bei der Aufgabe helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du hast hier einmal ein genau dann wenn in deiner Aufgabe. Dann musst du einmal zeigen, dass aus U1 vereinigt U2 ist ein linearer Unterraum folgt: U1 Teilmenge U2 oder U2 Teilmenge von U1. Das geht am einfachsten mit einem Beweis durch Widerspruch, indem du mal annimmst, dass U1 keine Teilmenge von U2 ist, und dann zeigst, dass daraus folgt, dass U1 vereinigt U2 kein Unterraum ist...
UND du musst zeigen, dass aus U1 Teilmenge U2 folgt, dass U1 vereinigt U2 ein Unterraum ist, und dass aus U2 Teilmenge U1 foilgt, dass U1 vereinigt U2 ein Unterraum ist. Das kannst du leicht direkt nachweisen....
Du musst dazu nur die Axiome des Unterraums wissen (Abgeschlossenheit gegenüber Skalarmultiplikation, gegenüber Vektoraddition, nämlich, dass zwei Vektoren aus dem Unterraum addiert wieder in dem selben Unterraum liegen, und dass die 0 enthalten ist.), und diese dann nachweisen.
Das kannst du sicher schaffen=)
LG
KRoni
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> Ich muss die Aufgabe aber machen, da dass unsere
> wöchentlichen Übungsaufgaben sind. Könntest du es mir
> nichtmal anhand eines Beispieles zeigen oder mir bei der
> Aufgabe helfen?
Du bist echt drollig!
Ich rede mir den Mund fusselig, und dann kommst Du mit sowas!
Solange Du null Durchblick hast, ist die Aufgabe zweitrangig: Du mußt den Stoff beherrschen, und zwar schnell. Damit Du dann die Aufgabe lösen kannst.
Weißt Du jetzt, welches die Unterräume des [mm] \IR^3 [/mm] sind?
Hast Du Dir überlegt, warum die Vereinigung zweier Vektorräume im allgemeinen kein Vektorraum ist?
Nenn doch mal zwei Unterräume des [mm] \IR^2. [/mm] Welches ist die Vereinigung?
Gruß v. Angela
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