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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 So 26.11.2006 | | Autor: | Lupi99 |
| Aufgabe | Sei U der von den folgenden Vektoren aufgespannte Untervektorraum des [mm] K^5:
[/mm]
[mm] u_{1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0}, u_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1}, u_{3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ -3 \\ 2}, u_{4} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1}, [/mm]
a) Bestimmen Sie eine Basis von U.
b) Ist das System [mm] (u_{1}, [/mm] ..., [mm] u_{4}) [/mm] linear unabhängig? Benutzen Sie ihr Ergebnis zu a) - keine neue Rechnung! |
Hallo,
wir haben den Tipp bekommen zuerst b zu machen und dann a zu bearbeiten.
In b) haben wir herrausgefunden, dass 1*u1 - 2*u2 + 1*u3 + 0*u4 = 0 ist. Was bedeutet, dass die Vektoren linar abhängig sind. Wir wissen nicht, wie wir dann eine Basis von U erstellen können.
Kann einer helfen?
Danke,
5 verzweifelte Studenten.
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei U der von den folgenden Vektoren aufgespannte
> Untervektorraum des [mm]K^5:[/mm]
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> [mm]u_{1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0}, u_{2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1}, u_{3}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ -1 \\ 0 \\ -3 \\ 2}, u_{4}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1},[/mm]
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> a) Bestimmen Sie eine Basis von U.
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> b) Ist das System [mm](u_{1},[/mm] ..., [mm]u_{4})[/mm] linear unabhängig?
> Benutzen Sie ihr Ergebnis zu a) - keine neue Rechnung!
> Hallo,
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> wir haben den Tipp bekommen zuerst b zu machen und dann a
> zu bearbeiten.
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> In b) haben wir herrausgefunden, dass 1*u1 - 2*u2 + 1*u3 +
> 0*u4 = 0 ist. Was bedeutet, dass die Vektoren linar
> abhängig sind. Wir wissen nicht, wie wir dann eine Basis
> von U erstellen können.
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> Kann einer helfen?
>
>
> Danke,
> 5 verzweifelte Studenten.
Oh weh! Gleich 5!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
U ist ja der Untervektorraum von des [mm] K^5, [/mm] welcher von [mm] u_1,...u_4 [/mm] erzeugt wird. [mm] (u_1, [/mm] ..., [mm] u_4) [/mm] ist also in jedem Fall ein Erzeugendensystem von U.
Was ist eine Basis? Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Damit habt Ihr es hier nicht zu tun, denn Ihr habt errechnet, daß
[mm] 1*u_1 [/mm] - [mm] 2*u_2 [/mm] + [mm] 1*u_3 [/mm] + [mm] 0*u_4 [/mm] = 0 ist, also nicht linear unabhängig.
Das bedeutet: auf [mm] u_3=-1*u_1 [/mm] + [mm] 2*u_2 [/mm] könnt Ihr verzichten, da er durch den Rest darstellbar ist.
Den kann man also herauswerfen.
Bleiben [mm] u_1, u_2, u_4.
[/mm]
Sind die unabhängig? Wenn ja, habt Ihr eine Basis des U. Wenn nicht, werft den nächsten Abhängigen heraus.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Lupi99 |
Hallo!!
Vielen Dank fuer deine schnelle Antwort. Du hast uns sehr geholfen! Damit sollten wir die Aufgabe jetzt loesen koennen!
Vielen dank nochmals
mfg
die fuenf Studenten
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