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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Di 02.05.2006 | | Autor: | jogi |
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K
Beweisen Sie:
a) Sind U1, U2 Untervektorräume von V, so ist auch [mm] U1\capU2 [/mm] ein Untervektorraum von V.
b)Ist U eine Menge von Untervektorräumen von V, so ist auch [mm] \bigcap_{i=1}^{n}U [/mm] ein Untervektorraum von V.
ist es ausreichend wenn ich zeige das die elemente der schnittmenge linear unabhängig sind und der nullvektor enthalten ist. und dann árgumentiere das die schnittmenge von u1 und u2 sowohle element u1 als auch u2 und sowohl u1 als auch u2 element v ist ?
und bei aufgabenstellung b eigentlich fast das gleiche? oder bin ich völlig uaf dem falschen weg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Di 02.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> ist es ausreichend wenn ich zeige das die elemente der
> schnittmenge linear unabhängig sind und der nullvektor
> enthalten ist. und dann árgumentiere das die schnittmenge
> von u1 und u2 sowohle element u1 als auch u2 und sowohl u1
> als auch u2 element v ist ?
Die Elemente der Schnittmenge sind nicht alle linear unabhängig, aber es ist schon richtig, dass der Nullvektor drin sein muss.
Die Standartvorgehensweise, wenn man zeigen will, dass U ein UVR von V ist, ist zu zeigen, dass:
1) [mm] 0\in [/mm] U,
1) Falls [mm] u_{1}, u_{2}\in [/mm] U [mm] \Rightarrow u_{1}+u_{2}\in [/mm] U,
2) Falls [mm] u_{1}\in [/mm] U und [mm] \lambda\in\IK \Rightarrow \lambda*u_{1}\in [/mm] U.
Mehr nicht. Und ja, es stimmt, dass b) die Verallgemeinerung von a) ist.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 02.05.2006 | | Autor: | jogi |
also ich bin das wie folgt angegangen und hoffe es ist überwiegend richtig:
zu zeigen ist:
1) 0 [mm] \in [/mm] U1 [mm] \cap [/mm] U2
2) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] U1 [mm] \cap [/mm] U2 [mm] (x+y\inU1 \cap [/mm] U2)
3) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] U1 [mm] \cap [/mm] U2 [mm] \wedge \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] K x*a [mm] \in [/mm] U1 [mm] \cap [/mm] U2
zeige 1)
seien U1 und U2 UV von V, dann ist nach Def. von UV [mm] 0\in [/mm] U1 [mm] \wedge 0\in [/mm] U2 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] U1 [mm] \cap [/mm] U2
zeige 2)
sei x [mm] \in [/mm] U1 [mm] \wedge [/mm] U2 und y [mm] \in [/mm] U1 [mm] \wedge [/mm] U2
[mm] \Rightarrow [/mm] (x+y [mm] \in [/mm] U1) [mm] \wedge [/mm] (x+y [mm] \in [/mm] U2)
[mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] U1 [mm] \cap [/mm] U2 , da U1 [mm] \cap [/mm] U2 [mm] \subseteq [/mm] U1
und U1 [mm] \cap [/mm] U2 [mm] \subseteq [/mm] U2
zeige 3)
seien U1 [mm] \wedge [/mm] U2 UV von V über K, dann gilt nach Def. von UV für x [mm] \in [/mm] U1 und a [mm] \in [/mm] K a*x [mm] \in [/mm] U1, sei x [mm] \in [/mm] U1 [mm] \wedge [/mm] U2 und a [mm] \in [/mm] K
[mm] \Rightarrow [/mm] x*a [mm] \in [/mm] U1 [mm] \wedge [/mm] x*a [mm] \in [/mm] U2 [mm] \Rightarrow [/mm] x*a [mm] \in [/mm] U1 [mm] \cap [/mm] U2
ist das ok so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:23 Di 02.05.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
> also ich bin das wie folgt angegangen und hoffe es ist
> überwiegend richtig:
>
> zu zeigen ist:
> 1) 0 [mm]\in[/mm] U1 [mm]\cap[/mm] U2
> 2) [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] U1 [mm]\cap[/mm] U2 [mm](x+y\inU1 \cap[/mm] U2)
> 3) [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] U1 [mm]\cap[/mm] U2 [mm]\wedge \forall[/mm] a [mm]\in[/mm] K x*a
> [mm]\in[/mm] U1 [mm]\cap[/mm] U2
Ja.
> zeige 1)
>
> seien U1 und U2 UV von V, dann ist nach Def. von UV [mm]0\in[/mm] U1
> [mm]\wedge 0\in[/mm] U2 [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\in[/mm] U1 [mm]\cap[/mm] U2
Ja, genau.
> zeige 2)
>
> sei x [mm]\in[/mm] U1 [mm]\wedge[/mm] U2 und y [mm]\in[/mm] U1 [mm]\wedge[/mm] U2
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x+y [mm]\in[/mm] U1) [mm]\wedge[/mm] (x+y [mm]\in[/mm] U2)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x+y [mm]\in[/mm] U1 [mm]\cap[/mm] U2 , da U1 [mm]\cap[/mm] U2 [mm]\subseteq[/mm]
> U1
> und U1 [mm]\cap[/mm] U2 [mm]\subseteq[/mm] U2
Das stimmt schon, man kanns aber übersichtlicher hinschreiben, finde ich.
> zeige 3)
>
> seien U1 [mm]\wedge[/mm] U2 UV von V über K, dann gilt nach Def. von
> UV für x [mm]\in[/mm] U1 und a [mm]\in[/mm] K a*x [mm]\in[/mm] U1, sei x [mm]\in[/mm] U1 [mm]\wedge[/mm]
> U2 und a [mm]\in[/mm] K
> [mm]\Rightarrow[/mm] x*a [mm]\in[/mm] U1 [mm]\wedge[/mm] x*a [mm]\in[/mm] U2 [mm]\Rightarrow[/mm] x*a
> [mm]\in[/mm] U1 [mm]\cap[/mm] U2
Ja, genau. Wie bei 2 - die Schreibweise mit logischen Operatoren ist ein bisschen unübersichtlich für so ein einfaches Problem. Aber stimmt alles.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Di 02.05.2006 | | Autor: | jogi |
dankeschön
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