Untersumme, f(x)=ax²+c < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Do 03.04.2008 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] F_0(x_0) [/mm] für f(x)= ax²+c |
Hallo Zusammen,
als erstes die Untersumme allgemein bestimmen.
f(0) = a [mm] \cdot{} [/mm] 0² + c = c
[mm] f(\bruch{x_0}{n}) [/mm] = a [mm] \cdot{} (\bruch{x_0}{n})² [/mm] + c = a [mm] \cdot{} \bruch{x_0²}{n²} [/mm] + c
[mm] f(2\bruch{x_0}{n}) [/mm] = a [mm] \cdot{} (2\bruch{x_0}{n})² [/mm] + c = a [mm] \cdot{} 2²\bruch{x_0²}{n²} [/mm] + c usw.
somit ergibt sich:
[mm] U_n [/mm] = [mm] \bruch{x_0}{n} \cdot{} [/mm] [(a [mm] \cdot{} [/mm] 0² + c)+(a [mm] \cdot{} \bruch{x_0²}{n²} [/mm] + c)+(a [mm] \cdot{} 2²\bruch{x_0²}{n²} [/mm] + c)+ ...+ [mm] a(n-1)²\bruch{x_0²}{n²}+c]
[/mm]
= [mm] \bruch{x_0}{n} \cdot{} [/mm] [(a [mm] \cdot{} [/mm] 0² + a [mm] \cdot{} \bruch{x_0²}{n²} [/mm] + a [mm] \cdot{} 2²\bruch{x_0²}{n²})+(c+c+c+...+n\cdot{}c)]
[/mm]
nun wird [mm] a\cdot{}\bruch{x_0²}{n²} [/mm] und [mm] n\cdot{}c [/mm] ausgeklammert
= [mm] \bruch{x_0}{n} \cdot{} [/mm] a [mm] \cdot{} \bruch{x_0²}{n²}[0²+1²+2²+...+(n-1)²]+ \bruch{x_0}{n} \cdot{} [/mm] nc
das nc muss ich doch auch mit mit dem Bruch [mm] \bruch{x_0}{n} [/mm] malnehmen, ergibt sich doch aus der vorherigen Zeile mit den n Summanden von c, oder?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Do 03.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
> somit ergibt sich:
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> [mm]U_n[/mm] = [mm]\bruch{x_0}{n} \cdot{}[/mm] [(a [mm]\cdot{}[/mm] 0² + c)+(a [mm]\cdot{} \bruch{x_0²}{n²}[/mm] + c)+(a [mm]\cdot{} 2²\bruch{x_0²}{n²}[/mm] + c)+ ...+ [mm]a(n-1)²\bruch{x_0²}{n²}+c][/mm]
>
> = [mm]\bruch{x_0}{n} \cdot{}[/mm] [(a [mm]\cdot{}[/mm] 0² + a [mm]\cdot{} \bruch{x_0²}{n²}[/mm] + a [mm]\cdot{} 2²\bruch{x_0²}{n²})+(c+c+c+...+n\cdot{}c)][/mm]
Das letzte $n_$ bei $n*c_$ ist zuviel. Für diesen Term ergibt sich dann am Ende insgesamt $n*c_$ .
> nun wird [mm]a\cdot{}\bruch{x_0²}{n²}[/mm] und [mm]n\cdot{}c[/mm] ausgeklammert
Das erste stimmt. Aber es wird nicht $n*c_$ ausgeklammert.
> = [mm]\bruch{x_0}{n} \cdot{}[/mm] a [mm]\cdot{} \bruch{x_0²}{n²}[0²+1²+2²+...+(n-1)²]+ \bruch{x_0}{n} \cdot{}[/mm] nc
>
> das nc muss ich doch auch mit mit dem Bruch [mm]\bruch{x_0}{n}[/mm]
> malnehmen, ergibt sich doch aus der vorherigen Zeile mit
> den n Summanden von c, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Damit verbleibt als letzter Term [mm] $c*x_0$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Do 03.04.2008 | | Autor: | itse |
> Hallo itse!
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>
> > somit ergibt sich:
> >
> > [mm]U_n[/mm] = [mm]\bruch{x_0}{n} \cdot{}[/mm] [(a [mm]\cdot{}[/mm] 0² + c)+(a [mm]\cdot{} \bruch{x_0²}{n²}[/mm]
> + c)+(a [mm]\cdot{} 2²\bruch{x_0²}{n²}[/mm] + c)+ ...+
> [mm]a(n-1)²\bruch{x_0²}{n²}+c][/mm]
> >
> > = [mm]\bruch{x_0}{n} \cdot{}[/mm] [(a [mm]\cdot{}[/mm] 0² + a [mm]\cdot{} \bruch{x_0²}{n²}[/mm]
> + a [mm]\cdot{} 2²\bruch{x_0²}{n²})+(c+c+c+...+n\cdot{}c)][/mm]
>
> Das letzte [mm]n_[/mm] bei [mm]n*c_[/mm] ist zuviel. Für diesen Term ergibt
> sich dann am Ende insgesamt [mm]n*c_[/mm] .
Welches letzte n? Ich versteh nicht was du damit meinst.
> > nun wird [mm]a\cdot{}\bruch{x_0²}{n²}[/mm] und [mm]n\cdot{}c[/mm]
> ausgeklammert
>
> Das erste stimmt. Aber es wird nicht [mm]n*c_[/mm] ausgeklammert.
Wie bezeichnet man dies dann? Wenn [mm] n\cdot{}c [/mm] nicht ausklammert wird.
Gruß
itse
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>>> $ [mm] U_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{x_0}{n} \cdot{} [/mm] $ [(a $ [mm] \cdot{} [/mm] $ 0² + c)+(a $ [mm] \cdot{} \bruch{x_0²}{n²} [/mm] $ + c)+(a $ [mm] \cdot{} 2²\bruch{x_0²}{n²} [/mm] $ + c)+ ...+ $ [mm] a(n-1)²\bruch{x_0²}{n²}+c] [/mm] $
>>> = $ [mm] \bruch{x_0}{n} \cdot{} [/mm] $ [(a $ [mm] \cdot{} [/mm] $ 0² + a $ [mm] \cdot{} \bruch{x_0²}{n²} [/mm] $ + a $ [mm] \cdot{} 2²\bruch{x_0²}{n²})+(c+c+c+...+n\cdot{}c)] [/mm] $
> > Das letzte [mm]n_[/mm] bei [mm]n*c_[/mm] ist zuviel. Für diesen Term ergibt
> > sich dann am Ende insgesamt [mm]n*c_[/mm] .
>
> Welches letzte n? Ich versteh nicht was du damit meinst.
Hallo,
Du hattest doch zuerst
>>> $ [mm] U_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{x_0}{n} \cdot{} [/mm] $ [(a $ [mm] \cdot{} [/mm] $ 0² + c)+(a $ [mm] \cdot{} \bruch{x_0²}{n²} [/mm] $ + c)+(a $ [mm] \cdot{} 2²\bruch{x_0²}{n²} [/mm] $ + c)+ ...+ $ [mm] a(n-1)²\bruch{x_0²}{n²}+c] [/mm] $
Dein c kommt in der eckigen Klammer n-mal vor, aber nicht c+c+c+...+n*c-mal, wie Du anschließend schriebst.
> Wie bezeichnet man dies dann? Wenn [mm]n\cdot{}c[/mm] nicht
> ausklammert wird.
Wenn Du das mit Worten beschreiben willst, mußt Du etwas mehr ins Detail gehen.
Vielleicht so: die große Klammer ausmultiplizieren und anschließend aus der ersten Klammer $ [mm] a\cdot{}\bruch{x_0²}{n²} [/mm] $ ausklammern.
Gruß v. Angela
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