Untersuchung von Eigenschaften < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Sa 07.10.2006 | | Autor: | garx |
| Aufgabe | Es sei f(x) = [mm] $\bruch{x³}{6(x-2)}$ [/mm] und [mm] f'(x)=$\bruch{x²(x-3)}{3(x-2)²}$ [/mm] und [mm] f''(x)=$\bruch{x(x²-6x+12)}{3(x-2)³}$.
[/mm]
a) Untersuche die Funktion f auf besondere Eigenschaften.
b) Ermittle die Asymptotenfunktion zu f.
c) Prüfe, ob für f Achsensymmetrie zur y-Achse oder Punktsymmetrie zum Ursprung liegt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen, das ist mein erster Post hier im Board. Ist aber echt klasse, dass es so eine Hilfe gibt.
Folgendes Problem: Ich gehe nun in die 12. Klasse eines Gymnasiums und habe Mathe als Leistungskurs. Wir haben nun 4 Wochen Schule gehabt und davon 2 Wochen Stochastik gemacht, bis der Lehrer meinte, dass wir das Thema ändern MÜSSEN.
Nun machen wir seit 2 Wochen Grundlagenkram für Analysis und kriegen 1 Stunde (!!) vor der 4-Stündigen Klausur ein Aufgabenblatt ohne Lösungszettel wo o.g. Aufgabe u.a. drauf ist.
Aufgabe c) habe ich glaube ich gelöst:
Achsensymmetrie zur y-Achse: f(x) = f(-x)
Gilt nicht, also gibt es keine Achsensymmetrie
Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x)
Gilt auch nicht, also auch keine Punktsymmetrie
Bei Aufgabe a) finde ich nicht einmal einen Anfang. Ich weiß nicht, was besondere Eigenschaften sein sollen und hab nun ja auch keine Möglichkeit den Lehrer zu fragen.
Zu Aufgabe b):
Wir haben in der letzten Stunde Asymptotenfunktionen behandelt. Aber nur in einer Polynomdivision, und ich steh nun aufm Schlauch, wie ich aus der Funktion eine Polynomdivision bilde.
Ich bedanke mich im Vorraus bei Ihnen.
garx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Disap |
> Es sei f(x) = [mm]\bruch{x³}{6(x-2)}[/mm] und
> f'(x)=[mm]\bruch{x²(x-3)}{3(x-2)²}[/mm] und
> f''(x)=[mm]\bruch{x(x²-6x+12)}{3(x-2)³}[/mm].
>
> a) Untersuche die Funktion f auf besondere Eigenschaften.
> b) Ermittle die Asymptotenfunktion zu f.
> c) Prüfe, ob für f Achsensymmetrie zur y-Achse oder
> Punktsymmetrie zum Ursprung liegt.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen, das ist mein erster Post hier im Board. Ist
> aber echt klasse, dass es so eine Hilfe gibt.
Moin garx, herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!!
> Folgendes Problem: Ich gehe nun in die 12. Klasse eines
> Gymnasiums und habe Mathe als Leistungskurs. Wir haben nun
> 4 Wochen Schule gehabt und davon 2 Wochen Stochastik
> gemacht, bis der Lehrer meinte, dass wir das Thema ändern
> MÜSSEN.
<sarkasmus>
Scheint ja eine richtig gut organisierte Schule zu sein.
</sarkasmus>
> Nun machen wir seit 2 Wochen Grundlagenkram für Analysis
> und kriegen 1 Stunde (!!) vor der 4-Stündigen Klausur ein
> Aufgabenblatt ohne Lösungszettel wo o.g. Aufgabe u.a. drauf
> ist.
>
> Aufgabe c) habe ich glaube ich gelöst:
>
> Achsensymmetrie zur y-Achse: f(x) = f(-x)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Bedingung stimmt.
> Gilt nicht, also gibt es keine Achsensymmetrie
>
> Punktsymmetrie: f(-x) = -f(x)
Dito.
>
> Gilt auch nicht, also auch keine Punktsymmetrie
Richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Bei Aufgabe a) finde ich nicht einmal einen Anfang. Ich
> weiß nicht, was besondere Eigenschaften sein sollen und hab
> nun ja auch keine Möglichkeit den Lehrer zu fragen.
Das kann man relativ leicht beantworten, nur für dich ist es eine Menge Rechnerei. Denn die besonderen Eigenschaften sind eben die, die du bei einer normalen Kurvendiskussion ermitteln sollst. Achsenschnittpunkte, Wendepunkte und Extrempunkte (indem Fall sogar ein Sattelpunkt), Unendlichkeitsverhalten (wobei sich das ja durch die Asymptote erahnen lässt). Symmetrie und Asymptote gehört auch zu den Eigenschaften dazu. Dann noch der Definitionsbereich (also Nennernullstellen, falls es welche gibt).
> Zu Aufgabe b):
> Wir haben in der letzten Stunde Asymptotenfunktionen
> behandelt. Aber nur in einer Polynomdivision, und ich steh
> nun aufm Schlauch, wie ich aus der Funktion eine
> Polynomdivision bilde.
Hast du denn das Beispiel in der Schule verstanden? Bei der Polynomdivision teilst du Zähler (Bruch oben) durch den Nenner (Bruch unten)
In unserem Fall würde ich zunächst einmal die 6 im Nenner mit dem Bruch ausmultiplizieren
f(x) = [mm] \bruch{x³}{\red{6}(\blue{x-2})}
[/mm]
Rot mal blau.
$f(x) = [mm] \bruch{x³}{6x-12)}$
[/mm]
Das ist dieselbe Funktion, wie du sie oben genannt hast. Du kannst auch mit dem Term weiterrechnen, nur ist es mathematisch schön, wenn man etwas ausklammern kann (die 6)
Und nun gilt für die Polynomdivision:
[mm] $(x^3) [/mm] : [mm] (\blue{6x}-12) [/mm] = ??$
Jetzt musst du überlegen, welche Zahl du mit dem blauen 6x multiplizieren musst, um auf [mm] x^3 [/mm] zu kommen. Das wäre [mm] \br{1}{6}x^2. [/mm] Das [mm] \br{1}{6}x^2 [/mm] multiplizierst du nun mit der gesamten Klammer (nun rot dargestellt) aus:
[mm] $(x^3) [/mm] : [mm] (\red{6x-12}) [/mm] = ??$
So, nun gehts los...
[mm] $(x^3) [/mm] : [mm] (\red{6x-12}) [/mm] = [mm] \br{1}{6}x^2$
[/mm]
[mm] $-(x^3\red{-}2x^2)$
[/mm]
Nun ist es eine ganz gewöhnliche 'Subtraktion'
Nebenrechnung
[mm] $x^3-x^3 [/mm] = 0$
$- [mm] \red{-}2x^2 [/mm] = [mm] \red{2x^2}$
[/mm]
Es bleibt quasi als 'Rest' [mm] 2x^2 [/mm] noch übrig.
[mm] $(x^3) [/mm] : [mm] (\red{6x-12}) [/mm] = [mm] \br{1}{6}x^2\blue{\pm???}$
[/mm]
[mm] $-(x^3\red{-}2x^2)$
[/mm]
------------------------
[mm] $2x^2$
[/mm]
Und nun gehts weiter. Jetzt musst du dich fragen, was du mit der roten Klammer malnehmen musst, um auf [mm] 2x^2 [/mm] zu kommen. Und nun mach mal selbst weiter.
Am Ende kommst du auf einen richtigen Rest, der könnte heissen (muss aber nicht zwingend sein, habe es nicht nachgerechnet): [mm] "\br{4}{3x-6}". [/mm] Den kann man für die Asymptote wegfallen lassen, wenn man zeigt, dass dieser Rest für Plus und minus Unendlich gegen Null läuft.
> Ich bedanke mich im Vorraus bei Ihnen.
Üblicherweise duzt man sich hier im Forum 
> garx
MfG!
Disap
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