Untersuchung auf Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:13 Sa 13.11.2010 | | Autor: | vivi |
Hallo allesamt,
ich sitze gerade vor der folgenden Aufgabe:
Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz (ggbf. den Grenzwert bestimmen)
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \produkt_{k=2}^{n} [(k^{3}-1)/(k^{3}+1)]
[/mm]
Ich hab jetzt zwar die Vermutung, dass sich der Term [mm] (k^{3}-1)/(k^{3}+1) [/mm] mit größer werdendem k der 1 annähert, aber, da die Terme alle miteinander n-mal multipliziert werden, müsste sich die Folge für n [mm] \to \infty [/mm] doch der 0 annähern (weil der Term immer <1 ist), oder?
Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich das beweisen soll. Mit dem Sandwichkriterium habe ich es versucht, aber es hat nicht geklappt, was vielleicht auch an falschen Abschätzungen lag:
0 < [mm] \produkt_{k=2}^{n} [(k^{3}-1)/(k^{3}+1)] [/mm] < [mm] \produkt_{k=2}^{n} [k^3/(k^{3}+1)] [/mm] < [mm] \produkt_{k=2}^{n} [/mm] 1
Gibt es irgendwie eine bessere Abschätzung oder bin ich auf dem Holzweg mit der Idee? Ich frage mich nämlich immer noch, ob es irgendwie eine Art "Beweisschema" gibt, weil ich nie weiß, ob ich jetzt versuchen soll, den Grenzwert zu finden, oder die Folge erst auf Monotonie untersuchen oder irgendetwas mit [mm] \varepsilon [/mm] rechnen soll...@_@
Vielen Dank für Eure Hilfe im Voraus,
vivi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Sa 13.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo vivi!
> Hallo allesamt,
>
> ich sitze gerade vor der folgenden Aufgabe:
>
> Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz (ggbf. den
> Grenzwert bestimmen)
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\produkt_{k=2}^{n} [(k^{3}-1)/(k^{3}+1)][/mm]
>
> Ich hab jetzt zwar die Vermutung, dass sich der Term
> [mm](k^{3}-1)/(k^{3}+1)[/mm] mit größer werdendem k der 1
> annähert, aber, da die Terme alle miteinander n-mal
> multipliziert werden, müsste sich die Folge für n [mm]\to \infty[/mm]
> doch der 0 annähern (weil der Term immer <1 ist), oder?
>
> Jetzt weiß ich allerdings nicht, wie ich das beweisen
> soll. Mit dem Sandwichkriterium habe ich es versucht, aber
> es hat nicht geklappt, was vielleicht auch an falschen
> Abschätzungen lag:
>
>
> 0 < [mm]\produkt_{k=2}^{n} [(k^{3}-1)/(k^{3}+1)][/mm] <
> [mm]\produkt_{k=2}^{n} [k^3/(k^{3}+1)][/mm] < [mm]\produkt_{k=2}^{n}[/mm] 1
>
> Gibt es irgendwie eine bessere Abschätzung oder bin ich
> auf dem Holzweg mit der Idee? Ich frage mich nämlich immer
> noch, ob es irgendwie eine Art "Beweisschema" gibt, weil
> ich nie weiß, ob ich jetzt versuchen soll, den Grenzwert
> zu finden, oder die Folge erst auf Monotonie untersuchen
> oder irgendetwas mit [mm]\varepsilon[/mm] rechnen soll...@_@
Häufig hilft es, sich die ersten paar Folgenglieder hinzu schreiben:
[mm] a_1 = 1[/mm], [mm] a_2 = \bruch{2^3-1}{2^3+1} = \bruch{7}{9}[/mm] , [mm] a_3 = \bruch{2^3-1}{2^3+1} * \bruch{3^3-1}{3^3+1} = \bruch{7}{9}*\bruch{26}{28}[/mm], [mm] a_4 = \bruch{2^3-1}{2^3+1} * \bruch{3^3-1}{3^3+1}* \bruch{4^3-1}{4^3+1}= \bruch{7}{9}*\bruch{26}{28}*\bruch{63}{65}[/mm] .
Da springt mir die Identität
[mm] \bruch{a_n}{a_{n-1}} = \bruch{n^3-1}{n^3+1} [/mm]
entgegen, aus der du die Monotonie ableiten kannst.
Zur Berechnung des Grenzwertes fällt mir im Moment nicht viel ein...
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Sa 13.11.2010 | | Autor: | vivi |
Hallo Rainer,
erstmal danke für die Antwort! Ich habe allerdings nicht ganz verstanden, was du mit der Identität meinst:
[mm] \bruch{a_n}{a_{n-1}} [/mm] = [mm] \bruch{n^3-1}{n^3+1}
[/mm]
So wie ich das verstehe, habe ich es ausprobiert mit n = 3 , [mm] a_3=\bruch{26}{28}, a_2 [/mm] = [mm] \bruch{7}{9}, [/mm] aber [mm] \bruch{26}{28}*\bruch{9}{7} [/mm] ist nicht [mm] \bruch{26}{28}? [/mm] Deshalb denke ich, habe ich da etwas falsch verstanden...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Sa 13.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo vivi!
> Hallo Rainer,
>
> erstmal danke für die Antwort! Ich habe allerdings nicht
> ganz verstanden, was du mit der Identität meinst:
>
> [mm]\bruch{a_n}{a_{n-1}}[/mm] = [mm]\bruch{n^3-1}{n^3+1}[/mm]
>
> So wie ich das verstehe, habe ich es ausprobiert mit n = 3
> , [mm]a_3=\bruch{26}{28}, a_2[/mm] = [mm]\bruch{7}{9},[/mm] aber
> [mm]\bruch{26}{28}*\bruch{9}{7}[/mm] ist nicht [mm]\bruch{26}{28}?[/mm]
> Deshalb denke ich, habe ich da etwas falsch verstanden...
Hast du 
[mm] a_3 = \bruch{7}{9} * \bruch{26}{28} [/mm] .
Oder formal mit dem Produkt:
[mm] a_n = \produkt_{k=2}^{n} \bruch{k^3-1}{k^3+1} = \left(\produkt_{k=2}^{n-1} \bruch{k^3-1}{k^3+1} \right) * \bruch{n^3-1}{n^3+1} = a_{n-1} * \bruch{n^3-1}{n^3+1} [/mm] .
Und da
[mm] \bruch{n^3-1}{n^3+1} <1 [/mm]
ist, folgt die Monotonie der Folge [mm] $(a_n)$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Sa 13.11.2010 | | Autor: | vivi |
Achso! xD Jetzt habe ich es verstanden, nachdem ich die Produktschreibweise gesehen habe. Vielen Dank für den Hinweis nochmal! Jetzt werde ich mal versuchen, die Beschränktheit zu beweisen :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso erwartest du das Ergebnis?
[mm] a_n/a_{n-1} [/mm] ist doch einfach der letzte Faktor von [mm] a_n
[/mm]
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 21.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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