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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Sa 29.03.2008 | | Autor: | lindala |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktionenschar fa mit fa(x)=(3x^(2/3)) / [mm] (1-ax+x^2), [/mm] a e R und klassifizieren Sie nach dem Parmeter a. Zeigen Sie, dass die Extrempunkte der Schar auf dem Graphen von h mit h(x)=(x^(2/3)) / [mm] 1-x^2 [/mm] liegen. |
Diese Aufgabe ist die letzte von dreien, die zu einer kleinen "seminararbeit"gehören, die wir anstelle einer klausur anfertigen sollen und ich komme damit einfach nicht klar. wir haben seit jahren keine funktionenscharen mehr bearbeitet und was genau mit "klassifizieren sie nach dem parameter a" gemeint ist ist mir auch nicht klar. ich würde mich also über jegliche hilfestellungen von euch freuen und erwarte auch nicht, dass ihr sie mir fertig rechnet, sondern erstmal herangehensweisen erklärt.
dann schon mal vielen dank im voraus,
linda
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich vermute mal, klassifizieren heißt, Spezialfälle usw. zu betrachten.
Je nachdem, was du vorher schon machen musstest könnte es aber auch einfach bedeuten, du sollst eine Kurvendiskussion anfertigen (was ich für wahrscheinlicher halte). Dann müsstest du bestimmen:
-1. Definitionsbereich, Wertebereich
-2. Schnittpunkte mit den Koordinatenac
-3. waagerechte, senkrechte, schräge Asymptoten, Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs und im Unendlichen
-4. Extrem- und Wendepunkte
-5. Symmetrieverhalten
Für all die Bestimmungen solltest du den Parameter a stets als konstant, aber eben als nicht bestimmbar erachten.
Für 1. Definitionsbereich musst du einfach darüber nachdenken, welche x man in Abhängigkeit von a auf keinen Fall in die Funktion einsetzen darf, weil dann z.B. im Nenner 0 steht. Den Wertebereich kann man gut mit einem Graphen der Funktion bestimmen, meist wird dieser aber erst ganz am Ende, wenn alle anderen Eigenschaften bekannt sind, bestimmt.
2. Schnittpunkte mit y-Achse: Bestimme f(0). Dann ist P(0,f(0)) dein Schnittpunkt mit der y-Achse.
Schnittpunkt mit der x-Achse: Stelle f(x)=0 nach x um. Dann ist (sind) P(DeinX,0) die Schnittpunkte mit der x-Achse.
3. Du solltest für das Verhalten im Unendlichen [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}f(x) [/mm] bestimmen. Stimmen diese Limites überein, so hast du eine waagerechte Asymptote y = Der Wert, in dem die Limites übereinstimmen.
Senkrechte Asymptoten können nur an den Grenzen des Definitionsbereichs (außer [mm] \pm\infty) [/mm] auftreten. Existieren also bei dir Werte b, die nicht im Definitionsbereich enthalten sind, so solltest du [mm] \limes_{x\rightarrow b-}f(x) [/mm] (linksseitiger Grenzwert) und [mm] \limes_{x\rightarrow b+}f(x) [/mm] (rechtsseitiger Grenzwert) berechnen. Sind diese jeweils [mm] \pm\infty, [/mm] so liegt an der Stelle b eine senkrechte Asymptote x = b vor.
4. Für die Extremstellen berechne zunächst f'(x), und setze mit 0 gleich. Stelle dann die Gleichung f'(x) = 0 nach x um, um die Extremstellen [mm] x_{E} [/mm] zu erhalten. Indem du diese herausgefundenen x in die zweite Ableitung f''(x) einsetzt, kannst du überprüfen ob die Extremstellen Minima [mm] (f''(x_{E})>0) [/mm] oder Maxima [mm] (f''(x_{E})<0). [/mm] Betrachte besonders hier die Abhängigkeit von Parameter a, du wirst wahrscheinlich nicht um Fallunterscheidungen der Form "Falls a > 0 an Stelle [mm] x_{E} [/mm] ein Maximum, ansonsten ein Minimum" herumkommen. Für die Wendepunkte führst du dieselbe Prozedur mit f''(x) und f'''(x) durch. (Falls f'''(x) > 0 von rechtsgekrümmt nach linksgekrümmt, falls f'''(x) < 0 andersherum)
5. Es sind nur die Standardsymmetrien zu überprüfen. Teste also für Achsensymmetrie mit der y-Achse:
Ist f(x) = f(-x), für die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung: Ist f(-x) = -f(x).
Speziell die zweite Teilaufgabe mit den Extrempunkten auf der Funktion:
Man nennt solch eine Funktion Ortskurve. Du benötigst zunächst, ausgehend von 4., welche Koordinaten die Extrempunkte der Funktion in Abhängigkeit von a haben.
Du hast dann Punkte der Form P(TermInAbhängigkeitVonA|TermInAbhängigkeitVonA). Berechne diese zunächst, dann können wir besser weiterrechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Sa 29.03.2008 | | Autor: | lindala |
hallo stefan, vielen dank für deine ausführliche und vor allem verständliche erklärung. mir ist allerdings immer noch nicht klar, wie genau ich das nun auf funktionenscharen anwenden kann. wie kann ich zum beispiel schnittpunkte mit den achsen herausbekommen? der taschenrechner beschwert sich immer mit "errror: dimension", wenn ich die klassiche "gleichung gleich null setzen und nach x auflösen-formel" anwende. zielt die aufgabe darauf ab viele verschiedene werte für a einzusetzen und für jeden eine kurvendiskussion durchzuführen, oder gemeinsame extrempunkte/ wendestellen zu finden?
ich hoffe, du verstehst, worauf ich hinaus will und danke noch mal.
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Nein, darauf zielt die Aufgabe nicht ab. Das a soll in all deinen Berechnungen bestehen bleiben. Beispiel: Extremstellen.
Zuerst leiten wir ab:
[mm]f(x) = \bruch{3*x^{\bruch{2}{3}}}{x^{2} - a*x + 1}[/mm].
Dann ist
[mm]f(x) = \bruch{u(x)}{v(x)}[/mm] mit
[mm]u(x) = 3*x^{\bruch{2}{3}}[/mm]
[mm]u'(x) = 3*\bruch{2}{3}*x^{\bruch{2}{3} - 1} = 2*x^{-\bruch{1}{3}}[/mm]
und
[mm]v(x) = x^{2} - a*x + 1[/mm]
[mm]v'(x) = 2*x - a[/mm].
Mit Quotientenregel ergibt sich:
[mm]f'(x) = \left(\bruch{u(x)}{v(x)}\right)' = \bruch{u'*v - u*v'}{v^{2}}[/mm],
also eingesetzt:
[mm]f'(x) = \bruch{2*x^{-\bruch{1}{3}}*(x^{2} - a*x + 1) - 3*x^{\bruch{2}{3}}*(2*x - a)}{(x^{2} - a*x + 1)^{2}}[/mm]
Man erhält durch Vereinfachen:
[mm]f'(x) = \bruch{2*x^{-\bruch{1}{3}}*(x^{2} - a*x + 1) - 3*x^{\bruch{2}{3}}*(2*x - a)}{(x^{2} - a*x + 1)^{2}}[/mm]
[mm]= \bruch{2*x^{-\bruch{1}{3}}*x^{2} - 2*x^{-\bruch{1}{3}}*a*x + 2*x^{-\bruch{1}{3}}*1 - 3*x^{\bruch{2}{3}}*2*x + 3*x^{\bruch{2}{3}}*a}{(x^{2} - a*x + 1)^{2}}[/mm]
[mm]= \bruch{2*x^{\bruch{5}{3}} - 2*a*x^{\bruch{2}{3}} + 2*x^{-\bruch{1}{3}} - 6*x^{\bruch{5}{3}} + 3*a*x^{\bruch{2}{3}}}{(x^{2} - a*x + 1)^{2}}[/mm]
[mm]= \bruch{-4*x^{\bruch{5}{3}} + a*x^{\bruch{2}{3}} + 2*x^{-\bruch{1}{3}}}{(x^{2} - a*x + 1)^{2}}[/mm]
So, wenn wir nun Nullstellen von [mm]f'(x)[/mm], also Extremstellen von [mm]f(x)[/mm] herausbekommen wollen erhalten wir:
[mm]f'(x) = \bruch{-4*x^{\bruch{5}{3}} + a*x^{\bruch{2}{3}} + 2*x^{-\bruch{1}{3}}}{(x^{2} - a*x + 1)^{2}} = 0[/mm]
[mm]\gdw -4*x^{\bruch{5}{3}} + a*x^{\bruch{2}{3}} + 2*x^{-\bruch{1}{3}} = 0[/mm]
Begründung: Ein Bruch wird nur 0, wenn auch der Zähler 0 wird. Wir klammern aus:
[mm]\gdw x^{-\bruch{1}{3}}*\left(-4*x^{2} + a*x+ 2\right) = 0[/mm]
Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Da der erste Faktor nie 0 werden kann [mm] (x^{-\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]{x}} [/mm] kann nicht 0 werden, da der Zähler nie 0 wird), bleibt nur der zweite Faktor als "Nullstellen-Kandidat" übrig. Es ist
[mm]-4*x^{2} + a*x+ 2 = 0[/mm]
[mm]\gdw x^{2} -\bruch{a}{4}*x -\bruch{1}{2}= 0[/mm]
Mit der p/q-Formel erhält man:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{a}{8} \pm \wurzel{\bruch{a^2}{64} + \bruch{1}{2}}.
[/mm]
Was wissen wir nun? Wir wissen, dass bei beliebig gewähltem a die Funktion f ihre Extremstellen bei [mm] \bruch{a}{8} \pm \wurzel{\bruch{a^2}{64} + \bruch{1}{2}} [/mm] hat.
Und genau das ist der Sinn, dass man das allgemein macht: Ein Außenstehender will nicht wissen, dass wenn ich a = 2 wähle die Funktion ihre Extremstellen dann dort und dort hat, sondern er möchte selbst ein beliebiges a wählen können, braucht es nur noch in die obige Formel einzusetzen und erhält die Extremstellen.
Sehen wir uns unsere Extremstellen noch einmal genauer an: Wir sehen, dass wir immer nur eine Extremstelle haben. Warum?: Es ist immer
[mm]\bruch{a}{8} < \wurzel{\bruch{a^2}{64} + \bruch{1}{2}}[/mm]
deswegen ist immer eine Nullstelle der Ableitung (nämlich [mm]\bruch{a}{8} - \wurzel{\bruch{a^2}{64} + \bruch{1}{2}}[/mm]) negativ. Offenbar ist der Definitionsbereich von f aber [mm] \IR^{+}. [/mm] Somit scheidet diese Extremstelle aus. Es bleibt die Extremstelle
[mm]\bruch{a}{8} + \wurzel{\bruch{a^2}{64} + \bruch{1}{2}}[/mm]
Diese gilt es nun auf die Art zu untersuchen, dies könnte man mit der zweiten Ableitung machen. Ich habe mit einfach mal ein paar Graphen angesehen und wir wissen: Es ist immer ein lokales Maximum. Schön wäre es, nicht zuletzt um die Aufgabenstellung zu erfüllen, den y-Wert des Maximums zu wissen. Das ist logischerweise notwendig, denn wie sollen wir eine Funktion bestätigen, die durch alle Extrempunkte geht, wenn wir die Lage de Extrempunkte nicht kennen? Dazu müssen wir den gerade errechneten x-Wert des Maximums in die Funktion f selbst einsetzen, denn schließlich liegt das Maximum ja auf der Funktion. Es ist
[mm]f\left(\bruch{a}{8} + \wurzel{\bruch{a^2}{64} + \bruch{1}{2}}\right) = ...[/mm]
Deine Aufgabe ist es nun, den y-Wert zu bestimmen und zu vereinfachen. Dann haben wir es fast geschafft.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Sa 29.03.2008 | | Autor: | lindala |
meine güte ist das kompliziert. hast du diese ganzen rechnungen "im kopf" aufgestellt? ich habe es jetzt auf tausend verschiedenen wegen in den taschenrechner gehauen und es gibt immer wieder den gleichen fehlerbericht. ich weiß echt nicht, was ich noch machen soll.
um die y-koordinate herauszubekommen muss ich doch letztlich "nur" in alle x der funktion den von dir errechneten (danke nochmal) x-wert [(a/8)+ wurzel aus [mm] (a^2/64) [/mm] + (1/2)] einsetzen und das ganze auflösen, nicht wahr? gibt es da irgend eine möglichkeit das ganze doch vom tr ausrechnen zu lassen? sonst bin ich total verloren, gleichungen haben wir ohne tr schon ewig nicht mehr bearbeitet.
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Ich muss ehrlich zugeben dass ich die Aufgabe auch ganz schön schwer für Grundkurs  finde. Da ich nicht weiß was für einen Taschenrechner du hast (ich denke aber keinen mit Computer-Algebra-System), kann ich dir auf deine Frage natürlich nicht direkt antworten. Allgemein könnte ich aber sagen, dass die Taschenrechner aus der 13. Klasse das noch nicht können
Was ich da angewandt habe war letztlich nichts anderes als die Quotientenregel, die du natürlich beherrschen solltest. Auch das Nullstellen-Finden sollte möglich sein. Hast du konkrete Fragen zum Rechenweg? Stelle sie ruhig.
Zurück zur Aufgabe. Dein Lösungsansatz ist richtig, du musst "nur" die Werte einsetzen. Ich fand das auch ziemlich ... und habe mir deswegen nochmal genau die Aufgabenstellung durchgelesen - und ein kleines Schlupfloch entdeckt sodass wir nicht ein einziges Mal den x-Wert in die Funktion einsetzen müssen.
Da steht: Weise nach, dass die Extrempunkte auf der Funktion h(x) liegen.
Was müssen wir also lediglich zeigen: Wenn eine Extremstelle in h(x) eingesetzt wird, muss auf jeden Fall derselbe Wert rauskommen wie wenn ich die Extremstelle in die Funktion einsetze (und somit den Extrempunkt erhalte). (Wenn du das nicht verstehst, bitte sage es! Es ist wichtig, dass das klar ist!)
Wir haben also zu zeigen:
[mm]h(x_{E}) = f(x_{E})[/mm]
In Funktionen:
[mm]\bruch{x_{E}^{\bruch{3}{2}}}{1-x_{E}^{2}} = \bruch{3*x_{E}^{\bruch{3}{2}}}{x_{E}^{2} - a*x_{E} + 1}[/mm]
Damit man nicht soviel zu zeigen hat , bedient man sich folgender Umformung:
Zu zeigen:
[mm]\bruch{x_{E}^{\bruch{3}{2}}}{1-x_{E}^{2}} = \bruch{x_{E}^{\bruch{3}{2}}}{\bruch{1}{3}*\left(x_{E}^{2} - a*x_{E} + 1\right)}[/mm]
Da die Zähler auf jeden Fall gleich sind, muss man nur noch zeigen dass auch die Nenner gleich sind, das neue "zu zeigen" lautet also:
[mm]1-x_{E}^{2} = \bruch{1}{3}*\left(x_{E}^{2} - a*x_{E} + 1\right)[/mm]
...
Löse zunächst die Gleichung nach [mm] x_{E} [/mm] auf. Danach erkläre ich, warum wir damit schon fertig sind!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Sa 29.03.2008 | | Autor: | lindala |
du bist ein schatz. danke, dass du hier deinen samstag mit meiner matheaufgabe verschwendest. ich frage mich wirklich, was sich der lehrer gedacht hat, wie zum teufel sollten wir da mit unserem vorwissen drauf kommen?! du bist aber nicht in der elften klasse, oder? dann müsste ich mich jetzt wirklich schlecht fühlen.
also, ich trau mich gar nicht zu schreiben, was bei mir beim nach xe auflösen rauskam, ohne den blöden taschenrechner bin ich total hilflos  . wir machen das ja nie. ich hab jedenfalls raus [mm] xe=-2xe^2+a
[/mm]
das muss falsch sein, aber ich habe wirklich alles versucht und das ist mit abstand die ansehnlichste lösung...mathe war noch nie meine stärke...
und wie soll es jetzt weitergehen?
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Ich muss dich zweierlei enttäuschen:
1. Ich bin 16 und in der elften Klasse
2. Leider ist deine Antwort falsch. Nach [mm] x_{E} [/mm] umzustellen heißt nicht zuletzt, auf der anderen Seite kein [mm] x_{E} [/mm] mehr zu haben.
Es ist
[mm]1-x_{E}^{2} = \bruch{1}{3}*\left(x_{E}^{2} - a*x_{E} + 1\right)[/mm]
[mm]\gdw 1-x_{E}^{2} = \bruch{1}{3}*\left(x_{E}^{2} - \bruch{1}{3}*a*x_{E} + \bruch{1}{3}\right)[/mm]
[mm]\gdw -\bruch{4}{3}*x_{E}^{2} + \bruch{1}{3}*a*x_{E} + \bruch{2}{3} = 0[/mm]
[mm]\gdw x_{E}^{2} -\bruch{1}{4}*a*x_{E} -\bruch{1}{2} = 0[/mm]
Und wenn du mal nach oben schaust, siehst du: Diese Aufgabe haben wir schonmal gelöst, und heraus kommen nach Anwenden der p/q-Formel genau unsere Extremstellen. Die Aufgabe ist gelöst.
Sooooo. Nun werde ich nochmal eine Erklärung dazu verlieren. Bitte frage, wenn du etwas nicht bei der Erklärung verstehst, denn Sinn einer solchen Seminararbeit ist es nicht zuletzt, dass du etwas lernst
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Gegeben ist eine Funktionsschar
[mm]f_{a}(x) = \bruch{3*x^{\bruch{3}{2}}}{x^{2}-a*x+1}[/mm].
Außerdem ist eine Funktion gegeben, die angeblich durch alle Extrempunkte der Funktion [mm]f_{a}(x)[/mm] gehen soll:
[mm]h(x) = \bruch{x^{\bruch{3}{2}}}{1-x^{2}}[/mm]
Wir sollen nachweisen, dass diese Funktion wirklich durch alle Extrempunkte von f geht, also eine so genannte Ortskurve ist. Damit wir dies überprüfen können, sollten wir zunächst etwas über die Funktion [mm]f(x)[/mm] und ihre Extremstellen in Erfahrung bringen.
Zunächst haben wir die Extremstellen der Funktion f in Abhängigkeit von a berechnet (Dies geschah durch Finden der Nullstellen von f'). Wählten wir also ein beliebiges a, so wussten wir automatisch: Die Funktion
[mm]f_{a}(x) = \bruch{3*x^{\bruch{3}{2}}}{x^{2}-a*x+1}[/mm]
hat eine Extremstelle bei
[mm]x_{E} = \bruch{1}{8}*a + \wurzel{\bruch{a^{2}}{64} + \bruch{1}{2}}[/mm].
Wenn in Aufgaben von "Extrempunkten - und Stellen" die Rede ist, so ist zumindest obiger Schritt, die Berechnung der Extremstellen, unvermeidlich.
Nun wäre eine Möglichkeit des weiteren Verfahrens natürlich, selbst die Ortskurve zu bestimmen (unter starkem Rechenaufwand) und diese mit der angegebenen zu vergleichen. Stimmen sie überein, so wäre die Aufgabe mit der Bestätigung der Gleichheit gelöst.
Wesentlich eleganter geht es aber mit einer anderen Überlegung: Ich möchte diese nun nochmals schildern - um meine Darlegungen besser zu verstehen, zeige ich hier nochmal verschiedene Elemente der Funktionsschar [mm]f_{a}(x)[/mm], nämlich die Funktion für a = 0, 0.25, 0.5, 0.75 und 1. Außerdem ist die Ortskurve (dunkelrot, die den senkrechten Strich hat) eingezeichnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir sehen: die Extrempunkte von f liegen auf der angegebenen Ortskurve.
Nun die Frage: Wir kennen schon die Extremstellen von f. Was müssen wir eigentlich noch zeigen? Wir müssen folgendes zeigen:
Ein Extrempunkt der Funktion muss auch auf der Ortskurve liegen. Wie kann man das mathematisch ausdrücken? [mm] \to [/mm] An der Extremstelle muss ein Schnittpunkt (siehe obiges Bild zur Verdeutlichung) von f und h vorliegen. (Denn dann liegt der Extrempunkt von f ja eindeutig auf h).
Aha! Es muss also ein Schnittpunkt von f mit h an der Extremstelle
[mm]x_{E} = \bruch{1}{8}*a + \wurzel{\bruch{a^{2}}{64} + \bruch{1}{2}}[/mm]
vorliegen, und zwar für jedes beliebige a!
Was heißt Schnittpunkt? Zu gegebenen x sind auch die Funktionswerte der beiden Funktionen gleich. Wollen wir also beweisen, dass h eine Ortskurve ist, so müssen wir zeigen, dass gilt:
[mm]f(x_{E}) = h(x_{E})[/mm]
Übersetzt: An der Extremstelle sind die beiden Funktionswerte gleich [mm] \to [/mm] Der Extrempunkt an dieser Stelle liegt auch auf h.
Wir müssen nun also "nur" noch zeigen, dass diese Gleichung stimmt. Wir könnten nun also den Extrempunkt einsetzen. Wenn beide Seiten gleich sind, sind wir fertig. Denn dann haben wir gezeigt: Für jedes beliebige a liegt der Extrempunkt auch auf h. [mm] \to [/mm] h muss Ortskurve sein.
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Viel eleganter ist es aber noch folgendermaßen: Wir gehen nochmal von der anderen Seite ran und sagen: Uns interessieren die Schnittpunkte von f mit h. Unweigerlich müssten die Schnittpunkte (siehe Bild) mindestens die Extrempunkte sein, sonst wäre h keine Ortskurve. Wir überprüfen also die Schnittpunkte von f und h. Dazu benötigen wir die obige Gleichung
[mm]f(x) = h(x)[/mm]
Die es nun nach x umzustellen gilt (Wie du siehst, nehmen wir noch nicht den hochtrabenden Verdacht an, dass das unsere Extremstellen sein könnten):
Es ist
[mm]f(x) = h(x)[/mm]
[mm]\gdw \bruch{3*x^{\bruch{3}{2}}}{x^{2}-a*x+1} = \bruch{x^{\bruch{2}{3}}}{1-x^{2}}[/mm]
Nun wollen wir nicht diese Mordsterme vergleichen, wir bedienen uns also des Tricks, dass wir die eh schon ähnlichen Zähler total gleich machen; dann brauchen wir nur noch die Nenner zu vergleichen:
[mm]\gdw \bruch{x^{\bruch{3}{2}}}{\bruch{1}{3}*\left(x^{2}-a*x+1\right)} = \bruch{x^{\bruch{2}{3}}}{1-x^{2}}[/mm]
Nun brauchen wir also nur noch die Nenner zu vergleichen:
[mm]\gdw \bruch{1}{3}*\left(x^{2}-a*x+1\right) = 1-x^{2}[/mm]
Wenn man diese Gleichung nach x auflöst (siehe oben), erhält man:
[mm]x_{S} = \bruch{1}{8}*a + \wurzel{\bruch{a^{2}}{64}+\bruch{1}{2}}[/mm]
(Die zweite Lösung habe ich schon eliminiert, wir hatten ja oben schon geklärt warum die nicht geht)
Was haben wir nun erhalten? Wir sehen: Die Schnittstellen der beiden Funktionen f und h (der Ortskurve) sind genau die Extremstellen!
Wir haben also gezeigt, dass die Ortskurve durch alle Extremstellen von f geht (denn dort schneidet die Ortskurve f !)
Und damit ist die Ortskurve bestätigt, q.e.d.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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