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| Aufgabe | a) Prüfen Sie, für welche x die Reihen
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!} [/mm] und [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm]
absolut konvergent sind.
b) Schreiben Sie die Summe
s = x + [mm] \bruch{1}{2} \* \bruch{x^{3}}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1 \* 3}{2 \* 4} \* \bruch{x^{5}}{5} [/mm] + [mm] \bruch{1 \* 3 \* 5}{2 \* 4 \* 6} \* \bruch{x^{5}}{5} [/mm] + ...
als Reihe, und überprüfen Sie ihre Konvergenz in Abhängigkeit von x. |
Zu a)
Ich habe als Tipp bekommen, dass die erste Reihe die reine Entwicklung des Sinus und die zweite die reine Entwicklung des Cosinus ist. Wie mir das genau weiterhelfen soll, weiß ich allerdings nicht.
Löse ich das nun einfach mit Hilfe des Quotientenkriteriums auf und stelle dann auf, dass (da x die einzige Variable ist, die negativ werden kann)wenn |x| < 1 ist, die Reihe konvergent ist oder gibt es noch eine elegantere Lösung?
Zu b)
Das Schreiben der Summe als Reihe ist soweit ja nicht schwer, wenn sich der Bruch ohne Variablen nicht immer um eine weitere Zahl in Zähler und Nenner multiplizieren würde.
Freue mich über jeden Tipp und Anregungen!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 So 25.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo FerariGirl!
Quotientenkriterium ist genau der richtige Ansatz.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:08 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo FerrariGirl!
Ich denke mal, dass hier auch folgende Darstellung für das allgemeine Reihenglied [mm] $a_k$ [/mm] der Reihe $s \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] zulässig ist:
[mm] $$a_k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1*3*5*...*(2k+1)}{2*4*6*...*(2k)}*\bruch{x^{2k+1}}{2k+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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