Unterschied zw. o(x) und O(x) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mi 05.01.2005 | | Autor: | hallo |
Hallo,
ich hoffe, es kann mir jemand erklären, was der Unterschied zwischen o(x) und O(x) ist. Ist das O(x) die Größenordnung oder der Fehlerterm? ich versteh den Unterschied da nicht ganz. Und was gibt o(x) an?
Ich hab auch die folgenden Aufgaben zu lösen. Und ich weiß nicht, wie ich mit o(x) rechnen soll.
Wie geht man da am besten vor?
Aufgaben:
1) [mm] \bruch{1}{2}( e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x}) [/mm] = x + [mm] \bruch{1}{6} x^{3}+o( x^{3}) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
Ich hab schonmal versucht alles umzuformen, und bin so weit gekommen:
[mm] \bruch{3 e^{x} - 3 e^{-x} - 6x - x^{3}}{6 x^{3}} \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0
Ich komm dann nicht meht weiter. Kann mir jemand bitte weiter helfen?
2) [mm] \bruch{1}{2}( e^{ix} [/mm] - [mm] e^{-ix}) [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{2} x^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{24} x^{4} [/mm] + o( [mm] x^{4}) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
Hier hab ich eigentlich dieselbe Umformung gemacht, wie bei 1) und bin so weit gekommen, dass ich alles auf die linke Seite genommen hab und dann durch [mm] x^{4} [/mm] geteilt hab. Und weiter???
3) [mm] \bruch{1}{ \wurzel{1+ e^{-x}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \wurzel{2}}(1+ \bruch{x}{4}+o(x)) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
gehe ich bei diesen Aufgaben richtig vor? Ich komm immer nicht weiter, wenn ich einen Bruch da stehen hab, der gegen 0 konvegiert.
Ich danke für die Hilfe.
Hallo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Mi 05.01.2005 | | Autor: | andreas |
nur kurz hinweise zu deiner ersten und zweiten aufgabe.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:53 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, naiv gesprochen kann man sagen:
$f(x)=o(x)$ bedeutet, dass [mm] $\frac{f(x)}{x}$ [/mm] für $x [mm] \to [/mm] 0$ gegen $0$ konvergiert, d.h. $f$ strebt "schneller" gegen $0$ als die lineare Funktion $g(x)=x$.
Dagegen bedeutet $f(x)= O(x)$, dass [mm] $\frac{f(x)}{x}$ [/mm] in der Nähe der $0$ beschränkt ist (aber nicht notwendigerweise gegen $0$ konvergiert.) Das heißt, dass $f$ jedenfalls nicht "langsamer" als $g(x)=x$ gegen $0$ konvergiert.
Mit dieser etwas unsauberen, aber vielleicht hilfreichen Erklärung solltest du dir die Definitionen jetzt noch einmal anschauen.
Bei den anderen Aufgaben bist du richtig vorgegangen. (Andreas Lösung mit der Exponentialreihe war aber auch richtig.) Jetzt musst du nachweisen, dass die Brüche für $x [mm] \to [/mm] 0$ gegen $0$ konvergieren. Das machst du am besten mit der Regel von de l'Hospital. Du musst sie mehrfach hintereinander anwenden, also immer wieder Zähler und Nenner ableiten. Irgendwann siehst du dann, dass der Zähler für $x [mm] \to [/mm] 0$ gegen $0$ konvergiert, der Nenner aber beschränkt bleibt. Dann bist du fertig. 
Liebe Grüße
Julius
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