Unters. der Konvergenzordnung < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der rechtsseitige Differenzenquotient ist gegeben durch
[mm]f'(x) \approx \bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm]
Bestimmen Sie die Konvergenzordnung. |
Hallo zusammen,
Es soll die Konvergenzordnung für den rechtsseitigen Differenzenquotient angegeben werden.
Eine Taylorentwickelung für [mm]f(x+h) [/mm] liefert
[mm]f(x+h) = f(x) +h*f'(x) + \bruch{h^2}{2}*f''(x)+O(h^3)[/mm]
(1.) Verstehe ich es richtig, dass [mm]O(h^3)[/mm] für die "restlichen Terme" der Taylorentwickelung steht?
(2.) Bis zu welcher Ordnung muss die Taylorentwickelung durchgeführt werden?
Eingesetzt in den rechtsseitigen Differenzenquotient liefert:
[mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x) + \bruch{h}{2}*f''(x)+O(h^2) = f'(x) + O(h)[/mm]
(3.) Ist es richtig, dass im mittleren Teil der Gleichung [mm]O(h^2)[/mm] steht, da [mm]O(h^3)/h = O(h^2)[/mm] ist?
(4.) Leider verstehe ich nicht, wie man auf den rechten Teil der Gleichung [mm]f'(x) + O(h)[/mm] kommt. Warum ist die Konvergenzordnung 1 ?
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, wie man vom mittleren Teil der Gleichung auf den rechten Teil der Gleichung kommt.
Vielen Dank und lieben Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Do 15.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Der rechtsseitige Differenzenquotient ist gegeben durch
>
> [mm]f'(x) \approx \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Konvergenzordnung.
>
> Hallo zusammen,
>
> Es soll die Konvergenzordnung für den rechtsseitigen
> Differenzenquotient angegeben werden.
>
> Eine Taylorentwickelung für [mm]f(x+h)[/mm] liefert
>
> [mm]f(x+h) = f(x) +h*f'(x) + \bruch{h^2}{2}*f''(x)+O(h^3)[/mm]
>
> (1.) Verstehe ich es richtig, dass [mm]O(h^3)[/mm] für die
> "restlichen Terme" der Taylorentwickelung steht?
Ja. Genauer gesagt, beschreibt [mm] $O(h^{3})$ [/mm] den Unterschied zwischen $f(x+h)$ und $f(x) +h*f'(x) + [mm] \bruch{h^2}{2}*f''(x)$.
[/mm]
>
> (2.) Bis zu welcher Ordnung muss die Taylorentwickelung
> durchgeführt werden?
Hier: 2.ter Ordnung.
>
> Eingesetzt in den rechtsseitigen Differenzenquotient
> liefert:
>
> [mm]\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x) + \bruch{h}{2}*f''(x)+O(h^2) = f'(x) + O(h)[/mm]
>
> (3.) Ist es richtig, dass im mittleren Teil der Gleichung
> [mm]O(h^2)[/mm] steht, da [mm]O(h^3)/h = O(h^2)[/mm] ist?
Ja. Wenn Du Dir nicht sicher bist, beweise es mittels der Definition von gross O: [mm] \lim_{h\to 0}\frac{\frac{O(h^{3})}{h}}{h^{2}}=\ldots$.
[/mm]
>
> (4.) Leider verstehe ich nicht, wie man auf den rechten
> Teil der Gleichung [mm]f'(x) + O(h)[/mm] kommt. Warum ist die
> Konvergenzordnung 1 ?
Das [mm] $\bruch{h}{2}*f''(x)+O(h^2)$ [/mm] laesst sich zu $O(h)$ zusammenfassen, denn [mm] $\bruch{h}{2}*f''(x)\in [/mm] O(h)$ und [mm] $O(h)+O(h^{2})\in [/mm] O(h)$. Versuche auch Dir dies mittels der Definition klarzumachen.
>
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, wie
> man vom mittleren Teil der Gleichung auf den rechten Teil
> der Gleichung kommt.
>
> Vielen Dank und lieben Gruß
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Vielen Dank für die Antwort!
Woher genau weiss ich, bis zu welcher Ordnung ich die Taylorentwickelung durchführen muss?
Beispielsweise wenn ich die Konvergenzordnung des zweiseitigen Differenzenquotienten [mm] f''(x) = \bruch{2f(x-3h)-5f(x)+3f(x+2h)}{15h^2} [/mm] bestimmen möchte. Woher weiss ich nun, bis zu welcher Ordnung die Taylorentwickelung durchgeführt werden muss?
Eine weitere Frage habe ich zum Rechnen mit [mm]O(h)[/mm]:
Wenn ich die beiden Taylorentwickelungen für die einzelnen Terme im Zähler von [mm]f''(x)[/mm] durchführe, so erhalte ich ja zwei Ordnungssymbole. Angenommen ich führe die Taylorentwickelung bis zur 2ten Ordnung durch, so erhalte ich im Zähler ja zweimal den Term [mm]O(h^3)[/mm].
Die Frage ist nun, wie ich die beiden Ordnungen zusammenfasse.
Gilt [mm]O(h^3) + O(h^3) = 2*O(h^3) = O(h^2)[/mm] , da [mm] 2*O(h^3) \in O(h^2) [/mm] ?
....
Würde im Falle einer Differenz folgendes gelten: [mm]O(h^2) - O(h^2) \in O(h^2) [/mm] ?
Danke für die Hilfe!
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Fr 16.01.2015 | | Autor: | hippias |
Ich habe den Eindruck, Dir ist nicht ganz klar, was das $O(h)$ heissen soll. Eine Funktion $f$ ist $O(h)$ (fuer $h$ gegen $0$), wenn [mm] $\frac{f(x)}{x}$ [/mm] in einer Umgebung von $0$ beschraenkt ist. Analog fuer die hoeheren Potenzen von $h$.
Sind also [mm] $f,g\in O(h^{2})$, [/mm] so ist [mm] $f+g\in O(h^{2})$, [/mm] denn, wenn [mm] $\frac{f(x)}{x^{2}}$ [/mm] und [mm] \frac{g(x)}{x^{2}}$ [/mm] beschraenkt sind, so trifft dies auch auf ihre Summe zu.
Es koennte nun aber sein, dass sich in $f+g$ Terme ausloeschen, sodass sogar [mm] $f+g\in O(h^{3})$ [/mm] gilt. Daher entwickelst Du die Taylorreihe solange, bis Du erkennst, dass sich nichts mehr ausloescht. Die hoechste verbleibende Potenz von $h$ ist dann die Konvergenzordnung.
Wenn das Deine Frage nicht beantwortet, dann Frage nocheinmal.
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Du hast recht. Irgendwie geht das [mm]O[/mm] nicht so recht in meinen Kopf rein. Ich verstehe die Bedeutung nicht. Ebensowenig die Definition von [mm]O[/mm]. Könntest Du hierzu bitte noch ein paar Worte verlieren?
Und ich verstehe auch nicht so recht, was es mit dem Terminus "auslöschen" auf sich hat.
Zurück zum ersten Beispiel:
Die Taylorentwickelung für [mm]f(x+h) [/mm] liefert
[mm]f(x+h) = f(x) +h*f'(x) + \bruch{h^2}{2}*f''(x)+O(h^3)[/mm]
Woran kann ich erkennen, dass sich hier "nichts mehr auslöscht", d.h. das ich die Taylorentwickelung nicht weiter machen brauche?
Ich entschuldige mich für meine Unwissenheit und bedanke mich für die Hilfe.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Fr 16.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Du hast recht. Irgendwie geht das [mm]O[/mm] nicht so recht in
> meinen Kopf rein. Ich verstehe die Bedeutung nicht.
> Ebensowenig die Definition von [mm]O[/mm]. Könntest Du hierzu bitte
> noch ein paar Worte verlieren?
Ich wuerde Dich dann bitten, zuerst die Definition aus Deiner Vorlesung, Buch etc. hier mitzuteilen.
>
> Und ich verstehe auch nicht so recht, was es mit dem
> Terminus "auslöschen" auf sich hat.
Ich wollte darauf hinaus, dass sich beim Addieren die Ordnung des $O$ vergroessern kann: Sagen wir es ist $f(x)= [mm] x^{2}-2x^{3}$ [/mm] und $g(x)= [mm] -x^{2}+x^{3}$. [/mm] Dann gilt [mm] $f,g\in O(x^{2})$ [/mm] fuer [mm] $x\to [/mm] 0$, weil eben [mm] $\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x^{2}}= [/mm] 1$ und [mm] $\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x^{2}}= [/mm] -1$. Aber es gilt weder [mm] $f\in O(x^{3})$ [/mm] noch [mm] $g\in O(x^{3})$. [/mm] In der Summe loescht sich das $O$-bestimmende Glied [mm] $x^{2}$ [/mm] aus, sodass nicht nur [mm] $f+g\in O(x^{2})$ [/mm] gilt, sondern sogar [mm] $f+g\in O(x^{3})$.
[/mm]
>
> Zurück zum ersten Beispiel:
>
> Die Taylorentwickelung für [mm]f(x+h)[/mm] liefert
>
> [mm]f(x+h) = f(x) +h*f'(x) + \bruch{h^2}{2}*f''(x)+O(h^3)[/mm]
>
> Woran kann ich erkennen, dass sich hier "nichts mehr
> auslöscht", d.h. das ich die Taylorentwickelung nicht
> weiter machen brauche?
Einseits koennte die Funktion nicht mehr hergeben, weil sie nicht oefter differenzierbar ist. Aber das ist es wohl nicht was Du meinst. Ich kann sagen: Wenn $f$ einmal stetig differenzierbar ist, dann ist $f(x+h)= f(x)+O(h)$. Oder: Wenn $f$ zweimal stetig differenzierbar ist, dann ist $f(x+h)= [mm] f(x)+f'(x)h+O(h^{2})$.Oder: [/mm] Wenn $f$ dreimal stetig differenzierbar ist, dann ist $f(x+h)= [mm] f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^{2}+ O(h^{3})$. [/mm] Unter diesen Voraussetzungen ist auch richtig, dass wie im Fall davor $f(x+h)= [mm] f(x)+f'(x)h+O(h^{2})$ [/mm] gilt. Mir scheint also, dass es nicht so sehr die Frage ist, bis zu welcher Ordnung Du die Taylorentwicklung machen musst, sondern bis zu welcher Ordnung geht es.
Wenn Du Konvergenzordnung $2$ zeigen willst, solltest Du wohl bis wenigstens zur zweiten Ableitung entwickeln.
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> Ich entschuldige mich für meine Unwissenheit und bedanke
> mich für die Hilfe.
Keine Ursache. Ein Wort zur Warnung: Ich habe mich nie besonders fuer Numerik interessiert. Von gewoehnlichen Irrtuemern abgesehen, koennte es also sein, dass ein Praktiker manches anders sehen wuerde.
>
> Grüße
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Ich muss weiter stochern...
> Ich wuerde Dich dann bitten, zuerst die Definition aus
> Deiner Vorlesung, Buch etc. hier mitzuteilen.
Das Problem ist, dass in meinem Kurzskript leider keine Definition des [mm]O[/mm] zu finden ist. Das [mm]O[/mm] wird mehr oder minder beiläufig bei der bestimmung des Quadraturfehlers zusammengesetzter Quadraturformeln eingeführt. Ich muss gestehen, dass ich wirklich keine Ahnung von der Thematik habe und mir die Zähne daran ausbeiße.
> Ich wollte darauf hinaus, dass sich beim Addieren die
> Ordnung des [mm]O[/mm] vergroessern kann: Sagen wir es ist [mm]f(x)= x^{2}-2x^{3}[/mm]
> und [mm]g(x)= -x^{2}+x^{3}[/mm]. Dann gilt [mm]f,g\in O(x^{2})[/mm] fuer [mm]x\to 0[/mm],
> weil eben [mm]\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x^{2}}= 1[/mm] und
> [mm]\lim_{x\to 0} \frac{g(x)}{x^{2}}= -1[/mm]. Aber es gilt weder
> [mm]f\in O(x^{3})[/mm] noch [mm]g\in O(x^{3})[/mm]. In der Summe loescht sich
> das [mm]O[/mm]-bestimmende Glied [mm]x^{2}[/mm] aus, sodass nicht nur [mm]f+g\in O(x^{2})[/mm]
> gilt, sondern sogar [mm]f+g\in O(x^{3})[/mm].
Woher nimmst Du diese [mm]\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x^{2}}[/mm] Betrachtung? Was hat es mit dieser Betrachtung auf sich? Und wie schließst du aus dem Ergebnis dieser Betrachtung auf [mm]0[/mm] ? Das würde mich wirklich sehr interessieren.
> Einseits koennte die Funktion nicht mehr hergeben, weil
> sie nicht oefter differenzierbar ist. Aber das ist es wohl
> nicht was Du meinst. Ich kann sagen: Wenn [mm]f[/mm] einmal stetig
> differenzierbar ist, dann ist [mm]f(x+h)= f(x)+O(h)[/mm]. Oder: Wenn
> [mm]f[/mm] zweimal stetig differenzierbar ist, dann ist [mm]f(x+h)= f(x)+f'(x)h+O(h^{2})[/mm].Oder:
> Wenn [mm]f[/mm] dreimal stetig differenzierbar ist, dann ist [mm]f(x+h)= f(x)+f'(x)h+\frac{1}{2}f''(x)h^{2}+ O(h^{3})[/mm].
> Unter diesen Voraussetzungen ist auch richtig, dass wie im
> Fall davor [mm]f(x+h)= f(x)+f'(x)h+O(h^{2})[/mm] gilt. Mir scheint
> also, dass es nicht so sehr die Frage ist, bis zu welcher
> Ordnung Du die Taylorentwicklung machen musst, sondern bis
> zu welcher Ordnung geht es.
> Wenn Du Konvergenzordnung [mm]2[/mm] zeigen willst, solltest Du wohl
> bis wenigstens zur zweiten Ableitung entwickeln.
Blöd gefragt: hat das damit etwas zu tun, dass für die Bildung des rechtsseitigen Differenzenquotient (erster Stufe) ein Interpolationspolynom vom Grad 2 benutzt wird, welches nur 2 mal differenzierbar ist? Oder ist diese Aussage kompletter Humbug?
Falls dies der Fall ist, so würde ich "verstehen" bis zu welcher Ordnung ich die Taylorentwickelung durchführen muss.
VIELEN DANK für die große Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Sa 17.01.2015 | | Autor: | hippias |
> Ich muss weiter stochern...
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> > Ich wuerde Dich dann bitten, zuerst die Definition aus
> > Deiner Vorlesung, Buch etc. hier mitzuteilen.
>
> Das Problem ist, dass in meinem Kurzskript leider keine
> Definition des [mm]O[/mm] zu finden ist. Das [mm]O[/mm] wird mehr oder minder
> beiläufig bei der bestimmung des Quadraturfehlers
> zusammengesetzter Quadraturformeln eingeführt. Ich muss
> gestehen, dass ich wirklich keine Ahnung von der Thematik
> habe und mir die Zähne daran ausbeiße.
>
Es ist wesentlich, dass Du Dich mit der Terminologie vertraut machst: Geh' in die Bibliothek und leihe Dir ein Buch ueber Numerik aus. Wenn Du die Erlaeterungen darin nicht verstehst, dann frage nocheinmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:25 So 18.01.2015 | | Autor: | techniquez |
Ok, das werde ich tun. Kannst Du mir da ein bestimmtes Buch empfehlen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 So 18.01.2015 | | Autor: | hippias |
Nein, mit Numerik habe ich nichts am Hut. Aber etwas lachhaft, dass Dich erst jemand anderes auf die Idee bringen musste in die Bib zu gehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 So 18.01.2015 | | Autor: | techniquez |
Das stimmt natürlich. Aber nochmals danke für Deine hilfe.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 18.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich möchte nochmal das Beispiel des zweiseitigen Differenzenquotienten aufgreifen:
[mm] f''(x) = \bruch{2f(x-3h)-5f(x)+3f(x+2h)}{15h^2} [/mm]
Zunächst führe ich die Taylorentwickelung für die Terme im Zähler durch.
[mm] f(x-3h) = f(x) - 3*h* f'(x) + \bruch{9}{2}*h^2*f''(x) - \bruch{27}{6}*h^3*f'''(x) + O(h^4) [/mm]
[mm] f(x) = f(x) [/mm]
[mm] f(x+2h) = f(x) +2*h*f'(x) + \bruch{4}{2}*h^2*f''(x) + \bruch{8}{6}* h^3 * f'''(x) + O(h^4) [/mm]
Nun setzte ich die Terme ein und es folgt:
[mm] \bruch{2f(x-3h)-5f(x)+3f(x+2h)}{15*h^2} = \bruch{15*h^2*f''(x)-5*h^2*f'''(x)+O(h^4)}{15*h^2} = f''(x) - 1/3*h*f'''(x) +O(h^2) = f''(x) + O(h) [/mm]
D.h. die Konvergenzordnung ist 1.
Entscheidend für die Konvergenzordnung ist also der Term [mm] - 1/3*h*f'''(x) [/mm] . Selbst wenn ich die Taylorentwickelung weiter durchgeführt hätte, so wäre ich dennoch auf eine Konvergenzordnung von 1 gekommen. Ich muss die Taylorentwickelung nur so lange durchführen, bis sich der erste Term, welcher ein [mm]h[/mm] enthält nicht mehr auslöscht, richtig?
Danke und Gruß!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Di 20.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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