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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Mi 17.05.2006 | | Autor: | weibi |
| Aufgabe | sind A,B Unterringe von R, so ist A [mm] \vee [/mm] B definiert als:
A [mm] \vee [/mm] B:= [mm] \bigcap_{T} [/mm] {T |T Unterring und T [mm] \ge [/mm] A [mm] \cup [/mm] B}
Zeige: A [mm] \vee [/mm] B besteht aus allen summen von Produkten aus Elementen aus A [mm] \vee [/mm] B. |
Ich weiß leider überhaupt nicht wie das geht, bitte um eine Antwort dass ich mich danach orientieren kann, und die anderen Beispiele alleine Lösen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mi 17.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> sind A,B Unterringe von R, so ist A [mm]\vee[/mm] B definiert als:
> A [mm]\vee[/mm] B:= [mm]\bigcap_{T} \{T \mid T \text{ Unterring und }T \ge A \cup B\} [/mm]
> Zeige: A [mm]\vee[/mm] B besteht aus allen summen von Produkten aus
> Elementen aus A [mm]\vee[/mm] B.
> Ich weiß leider überhaupt nicht wie das geht, bitte um
> eine Antwort dass ich mich danach orientieren kann, und die
> anderen Beispiele alleine Lösen kann.
Definiere doch mal $R$ als die Menge aller Summen von Produkten von Elementen aus $A [mm] \cup [/mm] B$. Du musst folgendes zeigen:
1) $R$ ist ein Ring. Dazu rechnest du einfach die Ringaxiome nach!
2) Ist $T$ ein Ring, der $A [mm] \cup [/mm] B$ enthaelt, so enthaelt $T$ auch $R$.
Daraus folgt dann, dass $R = A [mm] \vee [/mm] B$ ist (wieso?).
Zumindest 1) solltest du problemlos hinbekommen, das ist wirklich nur nachrechnen. Und 2) ist auch nicht schwer, nimm dir ein konkretes Element aus $R$ und einen solchen Ring $T$ und zeigt, dass das Element auch in $T$ liegen muss.
LG Felix
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