Unterraum zeigen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | | Sei f: V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung und sei w [mm] \in [/mm] W. Zu zeigen ist jetzt, das [mm] f^{-1}(w) [/mm] ein Unterraum ist, wenn w = 0 ist. |
Hallo ein Paar fragen zu obiger Aufgabe.
Was muss ich hier alles zeigen?
1) Das [mm] f^{-1} [/mm] ein Vektor ist?
2) Das [mm] f^{-1} \subset [/mm] V gilt?
3) Zeigen, das [mm] (f^{-1},+) [/mm] eine Untergruppe von (V,+) ist?
Vielen Dank für die Hilfe!!!
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> Sei f: V [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung und sei w [mm]\in[/mm] W. Zu
> zeigen ist jetzt, das [mm]f^{-1}(w)[/mm] ein Unterraum ist, wenn w =
> 0 ist.
> Was muss ich hier alles zeigen?
Hallo,
bevor Du Dir überlegst, was Du zeigen mußt, solltest Du Dir erstmal klar machen (ggf. im Skript/Mitschrift nachschlagen), was mit [mm] f^{-1}(w) [/mm] gemeint ist, wie das also definiert ist.
Dann schreib' mal auf: [mm] f^{-1}(0):= [/mm] ...
Wenn Du das getan hast, wirst Du wissen, daß die Fragen 1) und 2) grober Unfug sind...
> 1) Das [mm]f^{-1}[/mm] ein Vektor ist?
> 2) Das [mm]f^{-1} \subset[/mm] V gilt?
> 3) Zeigen, das [mm](f^{-1},+)[/mm] eine Untergruppe von (V,+) ist?
Du wirst hoffentlich inzwischen gemerkt haben, daß [mm] f^{-1}(0) [/mm] eine Teilmenge von V ist.
Du könntest nun dahergehen und sämtliche VR-Axiome nachweisen, wozu u.a. gehört, daß [mm] (f^{-1}(0),+) [/mm] eine Untergruppe von (V,+) ist.
Ich gehe allerdings davon aus, daß Ihr schon etwas weiter seid:
schau mal nach, ob Ihr die Unterraumkriterien schon hattet.
Mit diesen ist man schneller fertig.
LG Angela
>
>
> Vielen Dank für die Hilfe!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Sauri |
Hey, sorry ich war gearde am tippen als du mir geschrieben hast und habe mir deswegen "selber" eine Frage gestellt (mit samt den Axiomen").
Trotzdem vielen Dank für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Sauri |
Hier ist mal ein Lösungsansatz:
Behauptung:
[mm] f^{-1}(w) [/mm] ist Unterraum von V.
Beweis:
Sei w [mm] \in [/mm] W mit w = 0. Dann existiert ein w' [mm] \in [/mm] V mit v = 0.
Richtig????
1. zeigen, dass [mm] f^{-1} [/mm] nicht leer ist.
Mit w = 0 ist 0 [mm] \in f^{-1}(w). [/mm] Also ist [mm] f^{-1}(w) \not= \varnothing.
[/mm]
2. Abgeschlossen bezüglich Vektoraddition:
v + w = 0 + 0 [mm] \inf^{-1}(w)
[/mm]
3. Abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation:
Sei k [mm] \in [/mm] K. kw = k0 = 0 [mm] \in f^{-1}(w)
[/mm]
4. Existens eines Inversen (hier bin ich mir Unsicher!):
(-1)v = -v = (-1)0 = 0 [mm] \in f^{-1}(w)
[/mm]
(-w)+w=0 [mm] \in f^{-1}(w)
[/mm]
Ist hiermit [mm] f^{-1}(w) [/mm] als Unterraum ausreichend gezeigt?
Vielen Dank nochmals für die Hilfe!
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> Hier ist mal ein Lösungsansatz:
Hallo,
es ist unbedingt notwendig, daß Du die Definition von [mm] f^{-1}(0) [/mm] mal hinschreibst - nicht für mich, sondern für Dich.
Wenn wir das vorliegen haben, können wir nämlich besprechen, wie man erkennt, ob ein Element in dieser Menge liegt.
Das müßte vor dem Lösen der Aufgabe nämlich klar sein.
Also nächstes solltest Du, wie in meiner Antwort zuvor bereits gesagt, mal die Unterraumkriterien aufschreiben.
Wenn wir das vor Augen haben, können wir sie für Deine Menge [mm] f^{-1}(0) [/mm] "übersetzen".
Du arbeitest unten mit einem Gemenge aus UR-Kriterien und was anderem.
(Mir ist klar, daß Du den Beitrag vor der Lektüre meiner Antwort erstellt hast.)
> Behauptung:
> [mm]f^{-1}(w)[/mm] ist Unterraum von V.
>
> Beweis:
> Sei w [mm]\in[/mm] W mit w = 0. Dann existiert ein w' [mm]\in[/mm] V mit v
> = 0.
> Richtig????
Wenn ich wüßte, was genau Du hiermit zeigen wolltest, wäre ich schlauer...
Wolltest Du vielleicht zeigen, daß [mm] f^{-1}(0) [/mm] eine Teilmenge von V ist?
Das wäre natürlich eine gute Idee.
Was muß man denn zeigen, wenn man für zwei Mengen A, B zeigen will: [mm] A\subseteq [/mm] B?
>
> 1. zeigen, dass [mm]f^{-1}[/mm] nicht leer ist.
Über [mm] f^{-1} [/mm] zeigen wir gar nix. Wir zeigen was über [mm] f^{-1}(0), [/mm] und dazu müssen wir wissen, was das ist. s.o.
Ich beende die Korrektur an dieser Stelle und warte auf Deinen neuen Anlauf.
LG Angela
> Mit w = 0 ist 0 [mm]\in f^{-1}(w).[/mm] Also ist [mm]f^{-1}(w) \not= \varnothing.[/mm]
>
> 2. Abgeschlossen bezüglich Vektoraddition:
> v + w = 0 + 0 [mm]\inf^{-1}(w)[/mm]
>
> 3. Abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation:
> Sei k [mm]\in[/mm] K. kw = k0 = 0 [mm]\in f^{-1}(w)[/mm]
>
> 4. Existens eines Inversen (hier bin ich mir Unsicher!):
> (-1)v = -v = (-1)0 = 0 [mm]\in f^{-1}(w)[/mm]
> (-w)+w=0 [mm]\in f^{-1}(w)[/mm]
>
> Ist hiermit [mm]f^{-1}(w)[/mm] als Unterraum ausreichend gezeigt?
>
> Vielen Dank nochmals für die Hilfe!
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 So 11.11.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo, also wir haben also den Unterraum wie folgt definiert:
Ein Unterraum W von V ist eine Teilmenge W von V und es gilt:
1. (W,+) ist eine Untergruppe von (V,+)
2. xw [mm] \in [/mm] W für alle x [mm] \in [/mm] K und w [mm] \in [/mm] W
Und dann habe ich noch einen Hilfssatz:
Sei V ein K-Vektorraum und sei W ein Unterraum von V. Dann ist dW ein K-Vektorraum mit Addition und Skalarmultiplikation durch Einschränkung der Addition und Skalarmultiplikation von V gegeben.
zu [mm] f^{-1}: [/mm] Das ist im Prinzip das Urbild. Also in diesem Fall:
[mm] f^{-1}(V) [/mm] = {v [mm] \in [/mm] V | f(v) [mm] \in [/mm] W}. Und das Urbild ist auch eine Teilmenge in diesem Fall von V.
Ist das so korrekt? Ich versuche das jetzt mal anzuwenden!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 So 11.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, also wir haben also den Unterraum wie folgt
> definiert:
> Ein Unterraum W von V ist eine Teilmenge W von V und es
> gilt:
> 1. (W,+) ist eine Untergruppe von (V,+)
> 2. xw [mm]\in[/mm] W für alle x [mm]\in[/mm] K und w [mm]\in[/mm] W
>
> Und dann habe ich noch einen Hilfssatz:
> Sei V ein K-Vektorraum und sei W ein Unterraum von V. Dann
> ist dW ein K-Vektorraum mit Addition und
> Skalarmultiplikation durch Einschränkung der Addition und
> Skalarmultiplikation von V gegeben.
>
> zu [mm]f^{-1}:[/mm] Das ist im Prinzip das Urbild. Also in diesem
> Fall:
> [mm]f^{-1}(V)[/mm] = [mm] \{v\inV | f(v) \in W}. [/mm] Und das Urbild ist
> auch eine Teilmenge in diesem Fall von V.
>
> Ist das so korrekt? Ich versuche das jetzt mal anzuwenden!
?????
Für w [mm] \in [/mm] W: [mm]f^{-1}(w)[/mm] = {v [mm] \in [/mm] V | f(v) =w }.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 So 11.11.2012 | | Autor: | Sauri |
> > Hallo, also wir haben also den Unterraum wie folgt
> > definiert:
> > Ein Unterraum W von V ist eine Teilmenge W von V und es
> > gilt:
> > 1. (W,+) ist eine Untergruppe von (V,+)
> > 2. xw [mm]\in[/mm] W für alle x [mm]\in[/mm] K und w [mm]\in[/mm] W
> >
> > Und dann habe ich noch einen Hilfssatz:
> > Sei V ein K-Vektorraum und sei W ein Unterraum von V.
> Dann
> > ist dW ein K-Vektorraum mit Addition und
> > Skalarmultiplikation durch Einschränkung der Addition und
> > Skalarmultiplikation von V gegeben.
> >
> > zu [mm]f^{-1}:[/mm] Das ist im Prinzip das Urbild. Also in diesem
> > Fall:
> > [mm]f^{-1}(V)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> = {v [mm]\in[/mm] V | f(v) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> W}. Und das Urbild ist
> > auch eine Teilmenge in diesem Fall von V.
> >
> > Ist das so korrekt? Ich versuche das jetzt mal anzuwenden!
>
> ?????
>
> Für w \in W: [mm]f^{-1}(w)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> = {v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> V | f(v) =w }.
>
> FRED
>
Hallo vielen Dank für die Hilfe! Leider kann ich die Antwort nicht lesen weil mir 3 Eingabefehler angezeigt werden. Trotzdem vielen vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 So 11.11.2012 | | Autor: | Sauri |
Hallo Dankeschön!
Also ist dann [mm] f^{-1}(0) [/mm] = {v [mm] \in [/mm] V | f(v) = 0}
Dann zur Aufgabe: Ich möchte zeigen das [mm] (f^{-1}(0), [/mm] +) Als Untergruppe von (V,+) zeigen.
1. Existenz des Neutralen Elements
v +0 = 0 + v = 0. Und null ist [mm] \in f^{-1}(0).
[/mm]
2. Existenz des Inversen
v \ V [mm] \Rightarrow v^{-1} \in [/mm] V
v + [mm] (v^{-1}) [/mm] = [mm] (v^{-1}) [/mm] + v = 0
3. Abgeschlossen bezüglich der Addition
Jetzt ist hier die Frage. zu zeigen ist ja v + v [mm] \in [/mm] V
Ist das in diesem Fall jetzt wegen f(v) = 0
0 + 0 = 0?
Ist das so okay um die Untergruppe bzgl. "+" zu zeigen?
Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo,
> Also ist dann [mm]f^{-1}(0)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V | f(v) = 0}
ja.
>
> Dann zur Aufgabe: Ich möchte zeigen das [mm](f^{-1}(0),[/mm] +) Als
> Untergruppe von (V,+) zeigen.
Du möchtest zunächst zeigen, daß [mm] $(f^{-1}(0),$ [/mm] +) eine Untergruppe von (V,+) ist.
>
> 1. Existenz des Neutralen Elements
> v +0 = 0 + v = 0. Und null ist [mm]\in f^{-1}(0).[/mm]
Auf letzteres kommt es an.
Warum gilt [mm] 0\in f^{-1}(0)?
[/mm]
Woran erkennt man, ob ein Element aus V in [mm] f^{-1}(0) [/mm] liegt? (Schau Dir dazu die Def. von [mm] f^{-1}(0) [/mm] an.)
>
> 2. Existenz des Inversen
> v \ V [mm]\Rightarrow v^{-1} \in[/mm] V
Was meinst Du mit [mm] v^{-1}? [/mm] Für das Inverse bzgl. + im Vektorraum schreibt man ja üblicherweise -v.
Daß es dieses Inverse zu v in V gibt, steht völlig außer Frage aufgrund der VR-Eigenschaft von V.
Fraglich ist, ob -v [mm] \in f^{-1}(0) [/mm] .
Das ist zu untersuchen.
> v + [mm](v^{-1})[/mm] = [mm](v^{-1})[/mm] + v = 0
>
> 3. Abgeschlossen bezüglich der Addition
> Jetzt ist hier die Frage. zu zeigen ist ja v + v [mm]\in[/mm] V.
Nein. Zu zeigen ist, daß für [mm] x,y\in f^{-1}(0) [/mm] gilt:
[mm] x+y\in f^{-1}.
[/mm]
Mal etwas anderes: Du hast die Definitions des Unterraumes angegeben und genutzt, was auf jeden Fall richtig ist.
Aber möglicherweise hattet Ihr auch schon die dazu äquivalenten VR-Kriterien notiert. Du solltest mal nachschlagen.
Damit wird die Sache nämlich noch bequemer:
[mm] U\subseteq [/mm] V ist ein UVR von V, sofern
1. [mm] 0\in [/mm] U
2. [mm] a+b\in [/mm] U füralle a,b [mm] \in [/mm] U
3. [mm] ka\in [/mm] U für alle [mm] k\in [/mm] K und [mm] a\in [/mm] U.
LG Angela
> Ist das in diesem Fall jetzt wegen f(v) = 0
> 0 + 0 = 0?
>
> Ist das so okay um die Untergruppe bzgl. "+" zu zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 So 11.11.2012 | | Autor: | wieschoo |
Ich möchte ja nicht penibel sein, aber es ist hier doch [mm]f^{-1}(\{w\})[/mm] stets gemeint.
Niemand behauptet, dass f bijektiv ist. Die Faulheit kann man sich immer noch später aneignen und Klammern nach belieben weglassen.
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