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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Fr 26.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | V:= [mm] \IR^3
[/mm]
U:= {v= [mm] (v_1,v_2,v_3)^T \in [/mm] V | [mm] v_3= 2v_1+v_2 [/mm] }
Bestimmen Sie ob U ein Unterraum des gegebenen [mm] \IR- [/mm] Vektorraums V ist. |
Hallo zusammen,
ich weiß nicht recht wie ich bei dieser Aufgabe die 3 Unterraum-Kriterien zeigen soll.
Also ich weiß, dass ich zeigen muss das gilt:
1) [mm] u_1,u_2 \in [/mm] U also auch [mm] u_1 +u_2 \in [/mm] U
2) [mm] \lambda \in [/mm] K , u [mm] \in [/mm] U also auch [mm] \lambda [/mm] * u [mm] \in [/mm] U
3) U nicht leer
aber ich weiß nicht wie ich das zeige.
Kann mir da vllt jemand helfen?
Gruß,
peeetaaa
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Hallo Peter,
> V:= [mm]\IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> U:= {v= [mm](v_1,v_2,v_3)^T \in[/mm] V | [mm]v_3= 2v_1+v_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> Bestimmen Sie ob U ein Unterraum des gegebenen [mm]\IR-[/mm]
> Vektorraums V ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich weiß nicht recht wie ich bei dieser Aufgabe die 3
> Unterraum-Kriterien zeigen soll.
> Also ich weiß, dass ich zeigen muss das gilt:
> 1) [mm]u_1,u_2 \in[/mm] U also auch [mm]u_1 +u_2 \in[/mm] U
> 2) [mm]\lambda \in[/mm] K , u [mm]\in[/mm] U also auch [mm]\lambda[/mm] * u [mm]\in[/mm] U
> 3) U nicht leer
>
> aber ich weiß nicht wie ich das zeige.
> Kann mir da vllt jemand helfen?
Das hatten wir doch schon so oft ...
3) ist äquivalent dazu, dass der Nullvektor, das ist hier [mm] $\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] in U liegt?
Tut er das?
Offensichtlich, denn [mm] $\underbrace{0}_{v_3}=2\cdot{}\underbrace{0}_{v_1}+\underbrace{0}_{v_2}$
[/mm]
Für 1) nimm dir zwei Vektoren [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}, y=\vektor{y_1\\y_2\\y_3}\in [/mm] U$ her.
Dann gilt aufgrund der Def. von U:
[mm] $x_3=2x_1+x_2$ [/mm] und [mm] $y_3=2y_1+y_2$
[/mm]
Wie sieht der Vektor $x+y$ aus?
[mm] $x+y=\vektor{x_1+y_1\\\ldots\\\ldots}$
[/mm]
Überprüfe, ob für diesen ebenfalls die U definierende Eigenschaft git.
Für 2) ganz ähnlich:
Nimm dir einen bel. Vektor [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in [/mm] U$ und [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] her.
Dann gilt wegen [mm] $x\in [/mm] U$ was?
Wie sieht [mm] $\lambda\cdot{}x$ [/mm] aus?
Erfüllt der die U definierende Eigenschaft?
Rechne es geradeheraus aus ...
Gruß
schachuzipus
>
> Gruß,
> peeetaaa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Fr 26.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
so danke schonmal!
habs jetzt so aufgeschrieben:
U1)
seien [mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}, y=\vektor{y_1\\y_2\\y_3}\in [/mm] U
nach Def.
[mm] x_3=2x_1+x_2 [/mm] sowie [mm] y_3=2y_1+y_2
[/mm]
für x+ y gilt:
[mm] x+y=\vektor{x_1+y_1\\\ x_2+y_2\\\ x_3+y_3}
[/mm]
-> [mm] (x_3+y_3)=2(x_1+y_1)+(x_2+y_2)
[/mm]
= [mm] x_3 +y_3 [/mm] = [mm] 2x_1 +2y_1 +x_2+y_2
[/mm]
= [mm] x_3+y_3 [/mm] = [mm] (2x_1+x_2)+(2y_1+y_2)
[/mm]
reicht das so?
für U2)
sei [mm] x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in [/mm] U und [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
zzg.: [mm] \lambda [/mm] * x [mm] \in [/mm] U
[mm] \lambda*x [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda *x_1\\\lambda *x_2\\\lambda *x_3}
[/mm]
nach Def.
[mm] \lambda *x_3= 2*(\lambda *x_1)+\lambda *x_2
[/mm]
[mm] \lambda *x_3= \lambda(2x_1) [/mm] + [mm] \lambda *x_2
[/mm]
[mm] \lambda *x_3=\lambda *(2x_1+x_2)
[/mm]
geht das so?
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Hallo,
man kann es an einigen Stellen noch etwas schöner aufschreiben.
> habs jetzt so aufgeschrieben:
>
> U1)
>
> seien [mm]x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}, y=\vektor{y_1\\y_2\\y_3}\in[/mm]
> U
>
> nach Def.
>
> [mm]x_3=2x_1+x_2[/mm] sowie [mm]y_3=2y_1+y_2[/mm]
>
> für x+ y gilt:
>
> [mm]x+y=\vektor{x_1+y_1\\\ x_2+y_2\\\ x_3+y_3}[/mm]
>
> -> [mm](x_3+y_3)=2(x_1+y_1)+(x_2+y_2)[/mm]
> = [mm]x_3 +y_3[/mm] = [mm]2x_1 +2y_1 +x_2+y_2[/mm]
> = [mm]x_3+y_3[/mm] =
> [mm](2x_1+x_2)+(2y_1+y_2)[/mm]
Hier sind ein bisschen viele Gleichheitszeichen. Mach mal lieber sowas [mm] \Rightarrow [/mm] an den Anfang der Zeilen, wenn du etwas weiter umformst.
Hier ist doch nur die erste Zeile sinnvoll, sonst sieht man doch garnicht richtig, ob die geforderte Eigenschaft noch erfüllt ist.
Mach es besser so: Sei z:=x+y, dann gilt [mm] z=\begin{pmatrix}x_{1}+y_{1}\\
x_{2}+y_{2}\\
x_{3}+y_{3}\end{pmatrix}. [/mm] Dann gilt also [mm] z_{3}=x_{3}+y_{3}=2x_{1}+x_{2}+2y_{1}+y_{2}=2(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})=2z_{1}+z_{2}.
[/mm]
Damit [mm] z\in [/mm] U.
Also ist U bzgl. der Addition abgeschlossen.
>
> reicht das so?
>
> für U2)
>
> sei [mm]x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in[/mm] U und [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> zzg.: [mm]\lambda[/mm] * x [mm]\in[/mm] U
>
> [mm]\lambda*x[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}[/mm] =
> [mm]\vektor{\lambda *x_1\\\lambda *x_2\\\lambda *x_3}[/mm]
> nach
> Def.
>
> [mm]\lambda *x_3= 2*(\lambda *x_1)+\lambda *x_2[/mm]
> [mm]\lambda *x_3= \lambda(2x_1)[/mm]
> + [mm]\lambda *x_2[/mm]
> [mm]\lambda *x_3=\lambda *(2x_1+x_2)[/mm]
>
> geht das so?
>
Am besten machst du es hier so wie oben bei der Addition.
Ist U nun ein Untervektorraum oder nicht?
Gruß Sleeper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 So 28.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Danke! Hast recht sieht übersichtlicher aus!
Und ja U ist ein Unterraum!!
Danke
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