Unterraum, bei Sattelpunkt < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Do 19.03.2015 | | Autor: | Phi.W |
| Aufgabe 1 | Sei P3 der Vektorraum aller Polynome vom Grade <= 3.
a.) Zeigen Sie, dass U, definiert als Menge aller Polynome vom Grade <= 3, die bei x=1 einen Sattelpunkt (waagrechte Wendetangente) haben, ein Unterraum von P3 ist. (Keine Prosaargumentation)
b.) Ermitteln Sie eine Basis für U
c.) Bestimmen Sie die Dimension von U. |
Schönen Guten Tag,
Als erstes:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu meiner Frage:
Ich hab kein problem den Unterraum bzw die Basis zu berechnen, mein problem ist der Ansatz:
Ich weiß das die Polynome im 3. Grad sind sprich
a3x³+a2x²+a1x+ao ist.
und ich kenne die Eigenschaften eines Sattelpunkts
f′′(x0)=0 , f′′′(x0)≠0 und damit sie waagerecht ist f'(x0)=0
Wie kann ich mir aus diesen 2 Ansätzen z.b ein Gleichungssystem Basteln um an die Basis ran zu kommen, oder reicht es Bereits
I f'(x) = 0
II f′(x)=0
III f'''(x) = ? (und dort weiß ich nicht genau wie ich den Gleichsetzen soll, falls dieser Ansatz stimmt)
MfG
Philipp
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> Sei P3 der Vektorraum aller Polynome vom Grade <= 3.
>
> a.) Zeigen Sie, dass U, definiert als Menge aller Polynome
> vom Grade <= 3, die bei x=1 einen Sattelpunkt (waagrechte
> Wendetangente) haben, ein Unterraum von P3 ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das funktioniert aber nur, wenn man meint, daß das konstante Polynom [mm] p(x)=a_0 [/mm] an der Stelle x=1 einen Sattelpunkt hat. Denn wenn p(x)=0 keinen Sattelpunkt hat, ist ja ein wesentliches Unterraumkriterium nicht erfüllt!
Die Polynome p die in U sind, haben folgende Eigenschaften:
[mm] p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
[/mm]
p'(1)=0
p''(1)=0
Also bekommen wir
[mm] 0=3a_3+2a_2+a_1
[/mm]
[mm] 0=6a_3+2a_2
[/mm]
also muß sein
[mm] a_2=-3a_3 [/mm] und
[mm] a_1=3a_3,
[/mm]
d.h. sie sind von der Gestalt
[mm] p(x)=a_3x^3-3a_3x^2+3a_3x+a_0=a_3(x^3-3x^2+3)+a_0*1,
[/mm]
und nun solltest Du eine Basis sehen.
LG Angela
> (Keine
> Prosaargumentation)
>
> b.) Ermitteln Sie eine Basis für U
>
> c.) Bestimmen Sie die Dimension von U.
> -
> Schönen Guten Tag,
> Zu meiner Frage:
> Ich hab kein problem den Unterraum bzw die Basis zu
> berechnen, mein problem ist der Ansatz:
>
> Ich weiß das die Polynome im 3. Grad sind sprich
> [mm] a_3x^3+a_2x12+a_1x+a_o [/mm] ist.
>
> und ich kenne die Eigenschaften eines Sattelpunkts
> f''(x0)=0 , f'''(x0)≠0 und damit sie
die Tangente
> waagerecht ist f'(x0)=0
>
> Wie kann ich mir aus diesen 2 Ansätzen z.b ein
> Gleichungssystem Basteln um an die Basis ran zu kommen,
> oder reicht es Bereits
> I f'(x) = 0
> II f''(x)=0
> III f'''(x) = ? (und dort weiß ich nicht genau wie ich
> den Gleichsetzen soll, falls dieser Ansatz stimmt)
>
> MfG
>
> Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Do 19.03.2015 | | Autor: | Phi.W |
Bedankt! Hab Vollkommen übersehen das x0 bereits vergeben ist, durch den Unterraum :)
MfG
Philipp
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