Unterraum, Erzeugendensystem, < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren [mm] $v_{1} [/mm] = (2.2.2) ; [mm] v_{2} [/mm] = (1.3.4) ; [mm] v_{3} [/mm] = (4.1.2) ; [mm] v_{4} [/mm] = (0.-1.2)$
a) Stellen Sie den Vektor $(-5.-4.2)$ als Linearkombination dieser Vektoren dar.
b) Zeigen Sie dass die {Vektoren} ein Erzeugendensystem ist - ist [mm] $\{v . . . \}$ [/mm] auch eine BASIS ?
Nun seien folgende Mengen gegeben : [mm] $U_{2} [/mm] = [mm] \{ a(-1.2.1)+b(2.-5.-3)+c(-4.9.5)\}$ [/mm] und [mm] $U_{3} [/mm] = [mm] \{(-4.1.5) + a(-2.1.1)+b(1.-1.1)\}$ [/mm] und [mm] $U_{1} [/mm] = [mm] \{(x.y.z) ; x \ge 0\}$ [/mm] ==>== > Welche dieser Mengen sund Untervektorräume ? Wie lauten ihre Basen ?
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Liebe User,
nachdem ich DANK EURER HILFE ALLE Klasusuren bestanden habe, will ich nun meine Blätter auch ordentlich jedes mal lösen 
Kann mir bitte jemand reklären, was man unter diesen Begriffen verstehen soll ?
Wie geht man dann bei solchen Aufgaben vor ?
Bitte um Eure Hilfe,
Euer KGB-Spion (Denis)
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Hallo Denis,
ich habe mir mal erlaubt, deinen Aufgabentext zu bearbeiten und alles etwas sauberer aufzuschreiben.
> Gegeben sind die Vektoren [mm]v_{1} = (2.2.2) ; v_{2} = (1.3.4) ; v_{3} = (4.1.2) ; v_{4} = (0.-1.2)[/mm]
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> a) Stellen Sie den Vektor [mm](-5.-4.2)[/mm] als Linearkombination
> dieser Vektoren dar.
> b) Zeigen Sie dass die {Vektoren} ein Erzeugendensystem ist
> - ist [mm]\{v . . . \}[/mm] auch eine BASIS ?
>
> Nun seien folgende Mengen gegeben : [mm]U_{2} = \{ a(-1.2.1)+b(2.-5.-3)+c(-4.9.5)\}[/mm]
> und [mm]U_{3} = \{(-4.1.5) + a(-2.1.1)+b(1.-1.1)\}[/mm] und [mm]U_{1} = \{(x.y.z) ; x \ge 0\}[/mm]
> ==>== > Welche dieser Mengen sund Untervektorräume ? Wie
> lauten ihre Basen ?
>
> Liebe User,
>
> nachdem ich DANK EURER HILFE ALLE Klasusuren bestanden
> habe, ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Na, herzlichen Glückwunsch!
> will ich nun meine Blätter auch ordentlich jedes mal lösen
>
> Kann mir bitte jemand reklären, was man unter diesen
> Begriffen verstehen soll ?
Na, die Begriffe kannst du in deinem Skript oder auf wikipedia nachschauen.
Was eine Linearkombination ist, solltest du aus der Schule wissen.
in (a) sollst du versuchen, den Vektor [mm] $\vektor{-5\\-4\\2}$ [/mm] als Linearkombination der Vektoren [mm] $v_1,..v_4$ [/mm] darzustellen.
Also prüfe, ob es reelle Zahlen $a,b,c,d$ gibt mit [mm] $\vektor{-5\\-4\\2}=a\cdot{}v_1+b\cdot{}v_2+c\cdot{}v_3+d\cdot{}v_4$ [/mm] gibt
Schreibe das alles als Vektorgleichung, es liefert dir ein lineares Gleichungssystem, das es zu lösen gilt.
Das wird in (b) verallgemeinert, Erzeugendensystem heißt, dass du jeden beliebigen Vektor [mm] $\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] als LK der 4 obigen Vektoren darstellen kannst, setze also genau wie in (a) an, nur mit einem allg. Vektor [mm] $\vektor{x\\y\\z}\in\IR^3$
[/mm]
Für den zweiten Teil (Basis ..) schaue den Begriff nach, dann wird es klar!
Im letzten Teil sollst du die 3 üblichen Unterraumkriterien nachweisen, wenn möglich, oder halt widerlegen durch ein Gegenbsp.
Welche das sind, --> nachschlagen.
Allerdings ist hier noch ne Frage? Sind die $a,b,c$ da in [mm] $U_2, U_3$ [/mm] irgendwelche reellen Zahlen? Oder gibt's nähere Angaben dazu?
> Wie geht man dann bei solchen Aufgaben vor ?
Naja, einen Anfang hast du ja nun, fange etwas damit an 
>
> Bitte um Eure Hilfe,
>
> Euer KGB-Spion (Denis)
LG
schachuzipus
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Okay, ich bin nun ein par (wenn auch kleine) Schritte weiter und habe folgendes erfahren :
- ich kann es zeigen, dass die vier Vektoren ein Erzeugendensystem bilden, indem ich ihre Matrix auf Zeilenstufenform bringe und zeige, dass eine Lösung existiert.
HILFE ==> Wie genau mache ich es, wenn ich wie hier eine NICHTAUADRATISCHE Matrix habe ?
- Ich habe den Begriff Basis mal durchgegoogelt, und habe irgendwie keine einfache Erklärung gefunden, mit der ich auch verständlich arbeiten kann.
BITTE BITTE BITTE , gebt mir noch ein bisschen Tipps
LG, Euer KGB-Spion
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Hallo,
in b) sollst Du zeigen, daß ($ [mm] v_{1} :=\vektor{2\\2\\2}, v_{2} :=\vektor{1\\3\\4}, v_{3} [/mm] := [mm] \vektor{4\\1\\2}, v_{4} :=\vektor{0\\-1\\2})
[/mm]
ein Erzeugendensystem ist. Ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^3, [/mm] nehme ich mal an. Weil: es steht nix dabei.
Wann ist eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem irgendeines Vektorraumes?
Wenn Du durch Linearkombination jedes Element des Vektorraumes erhalten kannst.
Im konkerten Fall müßtest Du also zeigen, daß Du für vorgegebenen [mm] \vektor{a,b,c}\in \IR^3 [/mm] Zahlen [mm] x,y,z,t\in \IR [/mm] so findest, daß
[mm] \vektor{a,b,c}=x\vektor{2\\2\\2}+y\vektor{1\\3\\4}+z \vektor{4\\1\\2}+t\vektor{0\\-1\\2}.
[/mm]
Dies liefert Dir, wie Du wohl schon erkannt hast, ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit 4 Variablen, über desses Lösbarkeit nachzudenken ist bzw. das zu berechnen ist.
Die x,y,z,t die Du erhältst, werden natürlich von a und b abhängen. (Beachte, daß es möglicherweise mehr als eine Lösung gibt. das stört nicht. Was stören würde: wenn es ein [mm] \vektor{a,b,c} [/mm] gäbe, für welches man keine Lösung findet.)
Eine geringfügig andere Variante ginge so: falls Du eine basis des [mm] \IR^3 [/mm] kennst, kannst Du vorrechnen, daß Du jeden Basisvektor als Linearkombination Deiner 4 Vektoren schreiben kannst. (Das ist zwar ein bißchen mehr Aufwand, aber möglicherweise etwas einfacher.)
Zeig (zeigen, nicht erzählen!) jetzt mal, wie weit Du mit Deinen Bemühungen gekommen bist. Denn eigentlich ist das Lösen von linearen GS ja nichts Neues. Du bist auch nicht verpflichtet, das mit Zeilenstufenform zu machen, falls Du das noch gar nicht kannst.
> - Ich habe den Begriff Basis mal durchgegoogelt, und habe
> irgendwie keine einfache Erklärung gefunden, mit der ich
> auch verständlich arbeiten kann.
Um "Basis" zu verstehen, mußt Du wissen, was "Erzeugendensystem" und "linear unabhängig" ist.
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Gruß v. Angela
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Okay - erstmal DANKE !!!
nun zum Thema :
Ich habe in a) beweisen müssen, dass man aus den Vektoren durch Linearkombination den Vektor (-5,-4,2) erhält. Meine Werte waren a = 22/7 ; b = 9/7 ; c = 0 (freie Konstante) ; d = 11/7
Bei b) habe ich Deinen Vorschlag benutzt und einfach [mm] \vektor{a\\b\\c}=x\vektor{2\\2\\2}+y\vektor{1\\3\\4}+z \vektor{4\\1\\2}+t\vektor{0\\-1\\2} [/mm] gemacht.
Schon wieder hab ich mit ner Matrix gerechnet. ABER aus Teilaufgabe a) Weiss ich doch, dass man dieses GLS lösen kann. oder ? Das kann ich doch einfach so hinschreiben ?
Liebe Grüsse,
Denis -
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> Ich habe in a) beweisen müssen, dass man aus den Vektoren
> durch Linearkombination den Vektor (-5,-4,2) erhält. Meine
> Werte waren a = 22/7 ; b = 9/7 ; c = 0 (freie Konstante) ;
> d = 11/7
Hallo,
hab' ich nicht nachgerechnet, aber durch Einsetzen kannst Du ja sehen, ob's stimmt.
>
> Bei b) habe ich Deinen Vorschlag benutzt und einfach
> [mm]\vektor{a\\b\\c}=x\vektor{2\\2\\2}+y\vektor{1\\3\\4}+z \vektor{4\\1\\2}+t\vektor{0\\-1\\2}[/mm]
> gemacht.
>
> Schon wieder hab ich mit ner Matrix gerechnet. ABER aus
> Teilaufgabe a) Weiss ich doch, dass man dieses GLS lösen
> kann. oder ?
Hm. Ich weiß natürlich nicht, was Du warum weißt.
Mit gewissen Kenntnissen kann man wirklich sehen, daß das GS lösbar ist, ich weiß bloß nicht, ob die Zusammenhänge bei Euch schon dran waren.
> Das kann ich doch einfach so hinschreiben ?
Was genau willst Du hinschreiben?
Du mußt entweder die konkreten Linearfaktoren x,y,z,t liefern, oder eine hieb- und stichfeste Begründung.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:21 Do 23.10.2008 | | Autor: | KGB-Spion |
Okay,
also die Situation sieht nun folgendermassen aus :
Ich habe mit ein par Kumpels nun rumgerechnet, und wir sind alle zu dem Entschluss gekommen, dass man sehr wohl das Ergebniss von Teilaufgabe a) mit berücksichtigen soll.
Da das Blatt nun abgegeben wurde ist es bereits weg und ich kann leider nicht mehr sagen wie ichs bei b) gezeigt hab, bin mir jedoch sicher, dass es gestimmt hat.
Eigentlich sind 80% des Blattes nur durch EURE Hilfe entstanden --> Dafür VIELEN LIEBEN DANK !!!
MFG Denis
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