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| Aufgabe | | Sei U ein K - Vektorraum der Dimension n und [mm] U_1 [/mm] ein Unterraum der Dimension k mit 0<k<n . Beweisen Sie, dass es dann einen Unterraum [mm] U_2 [/mm] der Dimension n-k gibt mit [mm] U=U_1 \oplus U_2, [/mm] das heißt [mm] U=U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] und [mm] U_1 \cap U_2 ={\vec{0} } [/mm] |
Hallo,
ich hatte hier an den Basisergänzungssatz gedacht, doch damit könnte ich höchstens die Dimension von [mm] U_2 [/mm] beweisen.
Wie kann man hier am besten vorgehen?
Wir könenn festhalten, dass die Basisvektoren von U folgendermaßen aussehen: [mm] U_{basis} [/mm] = { [mm] b_1, b_2, [/mm] ... , [mm] b_n [/mm] }
[mm] U_{1 basis} [/mm] = { [mm] c_1, c_2, [/mm] ... , [mm] c_k [/mm] } mit k <n
[mm] U_{2 basis} [/mm] = { [mm] d_1, d_2, [/mm] .. [mm] ,d_{n-k} [/mm] }
Wie geht es weiter?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 Mi 11.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei U ein K - Vektorraum der Dimension n und [mm]U_1[/mm] ein
> Unterraum der Dimension k mit 0<k<n . Beweisen Sie, dass es
> dann einen Unterraum [mm]U_2[/mm] der Dimension n-k gibt mit [mm]U=U_1 \oplus U_2,[/mm]
> das heißt [mm]U=U_1[/mm] + [mm]U_2[/mm] und [mm]U_1 \cap U_2 ={\vec{0} }[/mm]
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> Hallo,
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> ich hatte hier an den Basisergänzungssatz gedacht, doch
> damit könnte ich höchstens die Dimension von [mm]U_2[/mm]
> beweisen.
>
> Wie kann man hier am besten vorgehen?
>
> Wir könenn festhalten, dass die Basisvektoren von U
> folgendermaßen aussehen: [mm]U_{basis}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]b_1, b_2,[/mm] ... , [mm]b_n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> [mm]U_{1 basis}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]c_1, c_2,[/mm] ... , [mm]c_k[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} mit k <n
>
> [mm]U_{2 basis}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]d_1, d_2,[/mm] .. [mm],d_{n-k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Wie geht es weiter?
>
> Vielen Dank im Voraus.
Mach es so: wähle eine Basis B von U_1
ergänze B mit einer linear unabhängigen Menge C zu einer Basis von U
ist dann U_2 die lineare hülle von C so leistet U_2 das verlangte
fred
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mi 11.05.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Perfekt, das leuchtet ein, vielen Dank.
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