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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:55 So 26.11.2006 | | Autor: | ramok |
| Aufgabe | Hallo,
ich habe mit folgender Aufgabe Probleme:
V = [mm] \IR^4 [/mm] mit folgenden Vektoren:
[mm] v1=\vektor{1 \\ 1\\-1\\2}, v2=\vektor{2 \\ 0\\3\\1},v3=\vektor{0 \\ -2\\1\\-1},w1=\vektor{1 \\ -1\\0\\1}, w2=\vektor{1 \\ 5\\-3\\4}
[/mm]
a.) Zu zeigen ist das w1 und w2 in u =<v1,v2,v3> liegt.
b.) Geben eine Basis von u an, welche die Vektoren w1 und w2 enhält.
Bilden auch v1,v2 und v3 eine Basis? |
Also zu a.) hab ich folgendes:
ich muss zeigen dass w1=U und w2=U gilt.
Letzendlich habe ich dan ein gleichungssystem mit 4 unbekannten und ich muss dies mit einem LGS lösen? Ist das ein Richtiger Ansatz? Kann man so ein LGS überhaupt lösen?
zu b.) viel mir folgendes ein:
Also damit v1,v2,v3 eine Basis von u ist müssen die Vektoren lin. unab. zueinander sein und sie müßen ein Min. Erzeugendensystem bilden, das heißt das kein Vektor entberlich ist.
Naja wie kann ich sowas prüfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:34 So 26.11.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
dein erster Ansatz für Aufgabe a) ist richtig. Wenn w1 und w2 von den Vektoren erzeugt werden soll, muss es im span(v1,v2,v3) liegen, das heißt in allen Linearkombinationen, die durch diese drei Vektoren erzeugt werden können. Setze die drei Vektoren also in eine erweiterte Koeffizientenmatrix, einmal mit dem Vektor w1 als Ergebnis beim zweiten Mal mit dem Vektor w2. Bringe nun das ganze auf erweiterte Zeilenstufenform mittels Gaussem Eliminationsverfahren. Dann kannst du ganz leicht überprüfen, ob der Vektor eine Linearkombination der anderen ist oder nicht.
Bei Aufgabe b) musst du nur wieder die Vektoren in eine Matrix schreiben und sie auf Zeilenstufenform bringen. Dann kannst du die Pivotspalten oder Pivotzeilen ablesen und weißt sofort das dies die Basisvektoren sind, da genau die Pivotzeilen oder Pivotspalten linear unabhängig sind.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 So 26.11.2006 | | Autor: | ramok |
Hi,
danke für deine Antwort.
Ja ich weis was du mit einer Koeffizientenmatirx meinst, hmm jedoch habe ich das gemacht und ich krieg es einfach nicht gelöst.
Wan weis ich den das die Vektoren Lin. unabhängig sind? Wenn die Letzte Zeile # 0 ist? Und alle Zeilen # 0 sind dan auch meine Eelemente der Basis?
Also ich hab folgendes gemacht für w1=U
Daraus ergibt sich folgendes gleichungssystem:
a + 2b = d
a -2c = -d
-a + 3b + c = 0
2a + b -c= d
wobe a,b,c,d die Skalare von v1,v2,v3 und w1 sind.
Daraus egibt sich folgende koeffizienten Matrix.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 1\\ 1 & 0 & -2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 & 0\\ 2 & 1 & -1 & 1}
[/mm]
Ich bin mit der Elmentaren zeilenunmfomung bis hierhin gekommen:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 8}
[/mm]
Das ist ja jetzt die Stufenform, da nun die Letzte zeile # 0 ist sind die Vektoren Lin. Abhängig zueinander. Woher weis ich jetzt mit hilfe der Matirx das w1 in u liegt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Di 28.11.2006 | | Autor: | Fuffi |
Du brauchst für dein W1 kein Skalar. W1 soll ja durch kombination von v1, v2, und v3 dargestellt werden. Guck die nochmal v1 und v3 an. Es ist recht leicht zu sehen, dass man durch geschickte Kombination der beiden v3 darstellen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Mi 29.11.2006 | | Autor: | makw |
Tag um auf die Treppenmatrix zu kommen, empfehle ich folgendes Programm : wimat
Einfach googlen und downloaden, dann Gaussverfahren verwenden. Ziemlich einfach
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