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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Dash |
| Aufgabe | | Sei W ein zweidimensionaler Unterraum des dreidimensionalen Vektorraumes V und U ein eindimensionaler Unterraum, der nicht in W enthalten ist. Zeigen Sie, dass jedes Element von V/W genau ein Element aus U enthält. |
Hallo,
gegeben ist ja folgendes:
W = dim 2, W [mm] \subset [/mm] V
U = dim 1, U [mm] \subset [/mm] V, U [mm] \not\subset [/mm] W
Sei x [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] V [mm] \land [/mm] x [mm] nicht\in [/mm] W
[mm] V/W:=\{x+W\}=\{x+w|w \in W\}
[/mm]
Einzigartigkeit: Sei y [mm] \in U:\{y+w|w \in W\}=\{x+w|w \in W\} [/mm] fuer gleiche w [mm] \Rightarrow [/mm] x=y [mm] \Rightarrow \exists [/mm] ! [mm] x:x+W=\{x+w|w \in W\}
[/mm]
Ist dieser Beweis richtig? bzw. zulässig?
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> Sei W ein zweidimensionaler Unterraum des dreidimensionalen
> Vektorraumes V und U ein eindimensionaler Unterraum, der
> nicht in W enthalten ist. Zeigen Sie, dass jedes Element
> von V/W genau ein Element aus U enthält.
> Hallo,
>
> gegeben ist ja folgendes:
>
> W = dim 2, W [mm]\subset[/mm] V
> U = dim 1, U [mm]\subset[/mm] V, U [mm]\not\subset[/mm] W
>
> Sei x [mm]\in[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] V [mm]\land[/mm] x [mm]nicht\in[/mm] W
> [mm]V/W:=\{x+W\}=\{x+w|w \in W\}[/mm]
>
> Einzigartigkeit: Sei y [mm]\in U:\{y+w|w \in W\}=\{x+w|w \in W\}[/mm]
> fuer gleiche w [mm]\Rightarrow[/mm] x=y [mm]\Rightarrow \exists[/mm] !
> [mm]x:x+W=\{x+w|w \in W\}[/mm]
>
> Ist dieser Beweis richtig? bzw. zulässig?
Hallo,
hat er Dich überzeugt? Mich nicht...
Es stimmt auch schon Deine Def. von V / W nicht.
> [mm]V/W:=\{x+W\}=\{x+w|w \in W\}[/mm]
Richtig wäre das so:
[mm] V/W:=\{x+W| x\in V\} [/mm] (also eine Menge von Mengen)
[mm] =\{\{x+w|w\in W\}| x\in V\} [/mm] (eine Menge von Mengen)
Zeigen soll man nun ja, daß für beliebiges [mm] v\in [/mm] V in v+W genau ein Element [mm] u\in [/mm] U enthalten ist.
Daß also eins drin ist, und zwar nur dies eine.
Bevor es losgeht, würde ich mir erstmal W und U anschauen.
Zeige erstmal, daß V= W [mm] \oplus [/mm] U.
Hieraus resultiert dann ja, daß Du jedes Element [mm] v\in [/mm] V eindeutig schreiben kannst als v=w+u mit [mm] w\in [/mm] W und [mm] u\in [/mm] U. Ich denke, daß Du diese Eigenschaft später gebrauchen kannst.
Gruß von Angela
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