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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Schmidtl |
| Aufgabe | Sei A [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 0 & -2 } [/mm] und b = [mm] \vektor{-1 \\ 2}.
[/mm]
1. Die Lösungsmenge von Ax = 0 ist ein Unterraum von [mm] \IR².
[/mm]
2. Die Lösungsmenge von Ax = b ist kein Unterraum von [mm] \IR². [/mm] |
Hi,
kann mir bitte jmd. die o.g. Aussage begründen bzw. meine Lösungen überprüfen?
Bei 1) würde ich sagen, dass dies ein Unterraum sein muss, weil x als einzige Lösung den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] hat. Und jeder Unterraum von [mm] \IR² [/mm] den [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] beinhalten muss. Stimmt das so?
Bei 2) habe ich das auch ausgerechnet und komme auf den Vektor [mm] \vektor{-2 \\ -1}. [/mm] Jetzt frage ich mich, wieso das kein Unterraum von [mm] \IR² [/mm] ist? Weil ich mit dem einen Vektor nicht den ganzen Raum aufspannen kann? Kann mir das bitte jmd. erklären!
Danke!
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> Sei A [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 0 & -2 }[/mm] und b = [mm]\vektor{-1 \\ 2}.[/mm]
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> 1. Die Lösungsmenge von Ax = 0 ist ein Unterraum von [mm]\IR².[/mm]
>
> 2. Die Lösungsmenge von Ax = b ist kein Unterraum von
> [mm]\IR².[/mm]
> Hi,
>
> kann mir bitte jmd. die o.g. Aussage begründen bzw. meine
> Lösungen überprüfen?
>
> Bei 1) würde ich sagen, dass dies ein Unterraum sein muss,
> weil x als einzige Lösung den Vektor [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] hat.
> Und jeder Unterraum von [mm]\IR²[/mm] den [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] beinhalten
> muss. Stimmt das so?
Hallo,
das stimmt teilweise. Richtig ist: [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] ist die einzige Lösung dieses Gleichungssystems. Also ist die Lösungsmengen [mm] L=\{\vektor{0 \\ 0}\}.
[/mm]
Diese Menge ist ein UVR des [mm] \IR^2, [/mm] was Du entweder weißt oder sehr leicht nachprüfen kannst.
Daß jeder UVR von [mm] \IR^2 [/mm] den Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] enthält, stimmt zwar, aber es ist keine Begründung dafür, daß die Lösungsmenge ein UVR ist.
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> Bei 2) habe ich das auch ausgerechnet und komme auf den
> Vektor [mm]\vektor{-2 \\ -1}.[/mm] Jetzt frage ich mich, wieso das
> kein Unterraum von [mm]\IR²[/mm] ist? Weil ich mit dem einen Vektor
> nicht den ganzen Raum aufspannen kann? Kann mir das bitte
> jmd. erklären!
Du hast richtig gerechnet. Die Lösungsmenge L besteht hier nur aus einem Element, es ist [mm] L=\{\vektor{-2 \\ -1}\}.
[/mm]
(Achtung: die Menge besteht nur aus einem Element und wird nicht etwa von einem Element aufgespannt!!!)
Du siehst sofort, daß der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] nicht in der Menge liegt. Daher kann L kein UVR des [mm] \IR^2 [/mm] sein, denn jeder UVR enthalt ja die Null.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Schmidtl |
Danke. Das verstehe ich jetzt sogar.
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