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Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Di 21.11.2006
Autor: kleiner-

Aufgabe
Sei f:V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen V,W und sei S ein Erzeugendensystem von V. Zeigen sie die folgenden Aussagen :
Falls U [mm] \subset [/mm] V ein endlich erzeugter Unerraum ist, so gilt
dim f (U) [mm] \le [/mm] dim U.

mein gedankengang hierzu ist.
Wäre U nicht endlich erzeugt, so gäbe es eine unendliche linear unabhängige Familie, was dem Austauschsatz widerspricht. Demnach hat U eine endliche Basis, und wieder nach dem Austauschsatz ist ihre Länge höchstens gleich dim U
Sei n= dimU = dimV und [mm] w_{1}...... w_{n} [/mm] Basis von U. Ist U [mm] \not= [/mm] V , so gibt es ein v [mm] \in [/mm] V \ W und [mm] w_{1}.... w_{n} [/mm] , v sind linear unabhängig im Widerspruch zum Austauschsatz.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Do 23.11.2006
Autor: otto.euler

Sei [mm] w_1,...,w_n [/mm] ein Erzeugendensystem von U.

Zeige, dass dann [mm] f(w_1),...,f(w_n) [/mm] ein Erzeugendensystem von f(U) ist.
Tipp: f ist linear.

Daraus folgt unmittelbar die Behauptung dim f(U) [mm] \le [/mm] dim U.

Bezug
                
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Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:58 Do 23.11.2006
Autor: roadrunnerms

und wie beweise ich formal das > Sei [mm]w_1,...,w_n[/mm] ein Erzeugendensystem von U.

> [mm] f(w_1),...,f(w_n)[/mm] [/mm] ein Erzeugendensystem
> von f(U) ist.

was ein erzeugendensystem is, weiß ich ja, aber wie zeige ich  sowas??


Bezug
                        
Bezug
Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Fr 24.11.2006
Autor: otto.euler

Sei [mm] v\inf(U) [/mm] beliebig. Dann muss ich eine Linearkombination der Erzeugenden angeben können. Das geht so:

[mm] v\inf(U) \Rightarrow \exists w\inU [/mm] mit f(w)=v

Nun ist [mm] w_1,...w_n [/mm] Erzeugendensystem von U

[mm] \Rightarrow [/mm] w = [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}w_{i} [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] v = f(w) = [mm] f(\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}w_{i}) [/mm]

f linear [mm] \Rightarrow [/mm] v = [mm] f(\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}w_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}f(w_{i}) [/mm]   qed




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