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Unterräume direkte Summe...: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:46 Mo 07.01.2008
Autor: hase-hh

Aufgabe
Sei K ein Körper und seien V und W zwei K-Vektorräume.

(i) Weisen Sie nach, dass das kartesische Produkt V x W der zugrunde liegenden Mengen durch die Verknüpfungen

(v1, w1) + (v2, w2) := (v1 + v2, w1 + w2)  [mm] \lambda(v1, [/mm] w1) := [mm] (\lambda*v1, \lambda*w1) [/mm]

mit [mm] \lambda \in [/mm] K und v1, v2 [mm] \in [/mm] V, w1, w2 [mm] \in [/mm] W zu einem K-Vektorraum wird.

(ii) Zeigen Sie, dass V x {0} und {0} x W Untervektorräume von V x W sind.

(iii) Gilt    V x W = V x {0} [mm] \oplus [/mm]  {0} x W,

ist also der Vektorraum V x W die innere direkte Summe von V x {0} und   {0} x W ?

Berechnen Sie auch die Dimension von V x W, wenn sowohl V als auch W endlich-dimensional sind.

Lösungshinweis zu (iii)

Für jedes Element (v,w) [mm] \in [/mm] V x W gilt:

(v,w) = (v,0) + (0,w).

Also ist V xW die Summe der beiden Untervektorräume. Außerdem besteht der Schnitt der beiden Untervektorräume nur aus dem Nullvektor. Daher ist tatsächlich die Summe direkt, V x W =  V x {0} [mm] \oplus [/mm]  {0} x W. Die Dimension von V x W ist daher die Summe der Dimensionen von V und von W, dim(V x W) = dim(V) + dim(W).

Moin,

hier meine Lösungsideen zu (i) und (ii). Bei (iii) bin ich im MOment noch relativ ratlos, trotz Lösungshinweis...

zu (i)

Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) wobei a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B. (Kombination "jedes mit jedem" als A "kreuz" B).

A x B := {(a,b) | a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B}

Prüfung der Vektorraumeigenschaften

1. Abgeschlossenheit bezgl. Addition

(v1, w1) + (v2, w2) = (v2, w2) + (v1, w1)

(v1+v2, w1+w2) = (v1+v2, w1+w2)

erfüllt.

2. Skalarmultiplikation assoziativ

(ab)*(v1,w1) = a(b(v1,w1))

(abv1, abw1) = a(bv1, bw1)

(abv1, abw1) = (abv1, abw1)

erfüllt.

3. Skalarmultiplikation mit 1

1*(v1,w1) = (v1,w1) für alle v,w [mm] \in [/mm] V x W

erfüllt.

4. Distributivgesetze

4.1. (a+b) * (v,w) = a (v,w) +b (v,w)

(a+b) * (v,w) = (av,aw) + (bv, bw)

((a+b)v,(a+b)w)) = (av + bv, aw + bw)

((a+b)v, (a+b)w) =((a+b)v, (a+b)w)

erfüllt

4.2. a*((v1,w1) + (v2,w2)) = a*(v1,w1) + a(v2,w2)

a(v1+v2, w1+w2) = (av1, aw1) + (av2, aw2)

(av1 + av2, aw1 + aw2) = (av1 + av2, aw1 + aw2)

erfüllt.

Also ist V x W ein K-Vektorraum.

zu (ii)

Ein Untervektorraum W eines Vektorraumes V (über einem Körper K) ist eine Teilmenge mit den folgenden Eigenschaften

1. Sind w, w' [mm] \in [/mm] W, dann ist auch w+w' [mm] \in [/mm] W
2. Ist w [mm] \in [/mm] W und [mm] c\in [/mm] K, dann ist auch c*w [mm] \in [/mm] W
3. 0 [mm] \in [/mm] W

Habe für das Forum nur V x {0} geprüft:

(v,0)

1. (v1,0) + (v2,0) = (v1+v2,0)  [mm] \in [/mm] V x {0}

erfüllt.

2. c*(v,0) = (cv,0) [mm] \in [/mm] V x {0}

3. (0,0)  [mm] \in [/mm] V x {0}  wenn ich für v=0 wähle.

erfüllt.






        
Bezug
Unterräume direkte Summe...: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:31 Mi 09.01.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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