Unterräume, Zeilentausch < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:08 Sa 07.11.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | a, Welche der vier Unterräume bleiben gleich, wenn man die ersten beiden Zeilen einer Matrix A tauscht?
b, Angenommen, [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} [/mm] liegt im Spaltenraum von A. Welcher Vektor liegt dann sicher im Spaltenraum der neuen Matrix? |
Hallo,
a,
Die ersten beiden Zeilen werden vertauscht, somit ändern sich die Einträge in den Spalten, aber die Zeilen bleiben als Ganzes gleich.
Vermutung: Die beiden Unterräume Zeilenraum [mm] C(A^T) [/mm] und Nullraum N(A) bleiben gleich.
Diese beziehen sich auf die Zeilen, somit müssten sich die beiden Unterräume Spaltenraum C(A) und linker Nullraum [mm] N(A^T) [/mm] ändern.
Als Beispiel:
A = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 8 \end{bmatrix}
[/mm]
Hierbei ergab sich folgendes für die vier Unterräume:
1. C(A) = [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}
[/mm]
2. N(A) = [mm] \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
3. [mm] C(A^T) [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}
[/mm]
4. [mm] N(A^T) [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Nun tausche ich die beiden Zeilen:
A' = [mm] \begin{bmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
[/mm]
Hierbei ergab sich folgendes für die vier Unterräume:
1. C(A') = [mm] \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
2. N(A') = [mm] \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -4 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
3. C(A'^T) = [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}
[/mm]
4. N(A'^T) = [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}
[/mm]
C(A') [mm] \not= [/mm] C(A) und N(A'^T) [mm] \not= N(A^T)
[/mm]
[mm] \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \not= \lambda \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}
[/mm]
[mm] \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \not= \lambda \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Unterschiedliche Geraden, aber N(A') = C(A'^T).
b,
[mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} \in [/mm] C(A)
Nun werden die ersten beiden Zeilen vertauscht, aus Aufgabe 1 weiß ich, dass sich der Spaltenraum ändert. Somit müsste nach dem Zeilentausch der Vektor [mm] \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix} [/mm] im Spaltenraum liegen.
Sind die Antworten richtig?
Gruß
itse
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 So 08.11.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
könnte es sich bitte jemand anschauen. Zumindest eine Einschätzung, ob ich komplett auf dem Holzweg bin.
Vielen Dank
itse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 09.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
