Unterräume < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Do 10.12.2009 | | Autor: | Reen1205 |
| Aufgabe | | Wie ist [mm]a\in \IR[/mm] zu wählen, so dass [mm] [mm] U=\left\{\vec x = \left(1,a\right)^T + t*\left(-1,2\right)^T: t\in\IR\right\} [/mm] ein Unterraum von [mm] \IR^2[/mm] ist? Weisen Sie für ein entsprechendes a nach, das U die Kriterien für Unterräume erfüllt. Wieviele a gibt es, so dass U Unterraum ist? |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Wir sollen diese Aufgabe ausschließlich mit den Kriterien lösen. Ich stocke allerdings schon beim ersten Kriterium:
[mm]\vec v, \vec w \in U[/mm]
[mm]\vec v = \left(1,a\right)^T + t_1*\left(-1,2\right)^T, \vec w = \left(1,a\right)^T + t_2*\left(-1,2\right)^T; \vec v + \vec w = \left(1,a\right)^T + t_1*\left(-1,2\right)^T + = \left(1,a\right)^T + t_2*\left(-1,2\right)^T[/mm]
Was habe ich denn jetzt davon? Wenn ich das jetzt ausrechne habe ich ja [mm]\left(2,2a\right)^T+t_1\left(-1,2\right)^T+t_2*\left(-1,2\right)[/mm]
Über einen kleinen Tip wäre ich sehr dankbar. VL ist es ja auch ein Rechenfehler, soll ja auch vorkommen ;)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wie ist [mm]a\in \IR[/mm] zu wählen, so dass [mm][mm]U=\left\{\vec x = \left(1,a\right)^T + t*\left(-1,2\right)^T: t\in\IR\right\}[/mm] ein Unterraum von [mm]\IR^2[/mm] ist? Weisen Sie für ein entsprechendes a nach, das U die Kriterien für Unterräume erfüllt. Wieviele a gibt es, so dass U Unterraum ist?
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> Wir sollen diese Aufgabe ausschließlich mit den Kriterien lösen. Ich stocke > > allerdings schon beim ersten Kriterium:
> [mm]\vec v, \vec w \in U[/mm]
>[mm]\vec v = \left(1,a\right)^T + t_1*\left(-1,2\right)^T, \vec w = >\left(1,a\right)^T + t_2*\left(-1,2\right)^T; \vec v + \vec w = > \left(1,a\right)^T + t_1*\left(-1,2\right)^T + = \left(1,a\right)^T + > t_2*\left(-1,2\right)^T[/mm]
> Was habe ich denn jetzt davon? Wenn ich das jetzt ausrechne habe ich ja > [mm]\left(2,2a\right)^T+t_1\left(-1,2\right)^T+t_2*\left(-1,2\right)[/mm]
> Über einen kleinen Tip wäre ich sehr dankbar.
Tipp: Obiges U stellt eine Gerade im [mm] \IR^2 [/mm] dar. Damit ist U genau dann ein Unterraum, wenn diese Gerade durch den Ursprung geht.
Der Parameter a ist also so zu bestimmen, dass [mm] $(0,0)^T \in [/mm] U$
FRED
> VL ist es ja auch ein Rechenfehler, soll ja auch vorkommen ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Do 10.12.2009 | | Autor: | Reen1205 |
Also [mm]\left(0,0\right)^T=\left(1,a\right)^T+t\left(-1,2\right)^T[/mm]
womit ich dann 2 gleichungen habe, von welcher eine das ergebnis [mm] a = -2t[/mm] liefert? Also muss a = -2t sein, damit es ein Unterraum ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also
> [mm]\left(0,0\right)^T=\left(1,a\right)^T+t\left(-1,2\right)^T[/mm]
>
> womit ich dann 2 gleichungen habe, von welcher eine das
> ergebnis [mm]a = -2t[/mm] liefert? Also muss a = -2t sein, damit es
> ein Unterraum ist?
Nein. Was hast Du mit der anderen der 2 Gleichungen gemacht ? Hast Du die einfach so in die Mülltonne getreten ?
Du bekommst die beiden Gleichungen
[mm]1 = t[/mm]
und
[mm]a = -2t[/mm]
Was erhälst Du nun für a ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Do 10.12.2009 | | Autor: | Reen1205 |
[mm]a = -2[/mm] bekomme ich dann raus.
Im nächsten Schritt hätte ich dann ja die beiden vorausgegangen Vektoren [mm] \vec v = \left(1,-2\right)^T + t_1(-1,2)^T[/mm] und [mm]\vec w = \left(1,-2\right)^T + t_2\left(1,-2\right)^T[/mm] und die Summe aus den beiden bringt mir dann [mm] \left(2,-4\right)^T+\left(t_1+t_2)*\left(-1,2\right)^T[/mm] kann ich jetzt einfach eine 2 aus dem Ortsvektor noch ausklammern und habe damit dann gezeigt, dass es ein Unterraum ist zumindest nach der ersten Bedingung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
a=-2 ist richtig. Nun überlege Dir, dass gilt:
$U = [mm] \{s*(1,-2)^T: s \in \IR \}$
[/mm]
Jetzt kannst Du sehr einfach die Unterraum bedingungen nachprüfen
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Do 10.12.2009 | | Autor: | Reen1205 |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Do 10.12.2009 | | Autor: | Reen1205 |
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Do 10.12.2009 | | Autor: | Reen1205 |
Der Groschen ist gefallen!
> [mm]U = \{s*(1,-2)^T: s \in \IR \}[/mm]
Das gilt ganz einfach deswegen, weil ich ja soeben gezeigt habe, dass die gerade durch [mm] \left(0,0\right)^T[/mm] geht und damit brauche ich ja den Ortsvektor nicht mehr (also der ortsvektor ist dann [mm]\left(0,0\right)^T[/mm] )
Mit den beiden Vektoren dann flux eingesetzt ergibt sich
[mm]\vec v = s_1*\left(1,-2\right)^T[/mm] und [mm]\vec w = s_2*\left(1,-2\right)^T[/mm] und damit dann [mm]\vec v + \vec w= \left(s_1+s_2\right) * (-1,2)^T[/mm] womit dann ja gezeigt ist, dass es im Unterraum liegt.
Und es gibt nur ein "a" also die "-2" für die das gilt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Do 10.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Der Groschen ist gefallen!
>
> > [mm]U = \{s*(1,-2)^T: s \in \IR \}[/mm]
>
> Das gilt ganz einfach deswegen, weil ich ja soeben gezeigt
> habe, dass die gerade durch [mm]\left(0,0\right)^T[/mm] geht und
> damit brauche ich ja den Ortsvektor nicht mehr (also der
> ortsvektor ist dann [mm]\left(0,0\right)^T[/mm] )
> Mit den beiden Vektoren dann flux eingesetzt ergibt sich
> [mm]\vec v = s_1*\left(1,-2\right)^T[/mm] und [mm]\vec w = s_2*\left(1,-2\right)^T[/mm]
> und damit dann [mm]\vec v + \vec w= \left(s_1+s_2\right) * (-1,2)^T[/mm]
> womit dann ja gezeigt ist, dass es im Unterraum liegt.
Du mußt noch zeigen: mit [mm] \vec{v} [/mm] liegt auch $ [mm] \alpha*\vec{v}$ [/mm] in U
FRED
> Und es gibt nur ein "a" also die "-2" für die das gilt!
|
|
|
|
