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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:24 Mo 06.12.2004 | | Autor: | grunicke |
Hallo!
Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabehelfen?!
Seien A, B, C endlich- dimensionale Unterräume eines K-Vektorraums E.
(a) Beweisen Sie die Ungleichung dim (A+B+C) [mm] \le [/mm] dimA + dimB + dimC
(b) Geben Sie ein (hinreichendes und notwendiges) Kriterium dafür an, dass die Ungleichung aus Teil (a) zu einer Gleichung wird.
(c) Zeigen Sie die verschärfte Ungleichun
dim ( A+B+C ) [mm] \le [/mm] dimA + dimB + dimC - 2dim (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C)
Also die (a) habe ich so bewiesen, obwohl ich mir nicht sicher bin, ob dies richtig ist und es ausreicht.
(a) Es sei dim (A+B) = dimA + dimB - dim(A [mm] \cap [/mm] B)
dim (A+B+C) [mm] \le [/mm] dimA + dimB + dimC
[mm] \gdw [/mm] dimA + dimB + dimC - dim(A [mm] \cap [/mm] B) - dim(B [mm] \cap [/mm] C) - dim (A [mm] \cap [/mm] C) + dim(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \le [/mm] dimA + dimB + dimC
[mm] \gdw [/mm] dim (A [mm] \cap [/mm] B) + dim(A [mm] \cap [/mm] C) + dim(B [mm] \cap [/mm] C)
Es sei A° = (B [mm] \cup [/mm] C) \ A
B° = (A [mm] \cup [/mm] C) \ B
C°= (A [mm] \cup [/mm] B) \ C
[mm] \gdw [/mm] dim (A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \le [/mm] dim ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C°) + dim ((A [mm] \capC) \cap [/mm] B°) + dim((B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cap [/mm] A°) + 3dim(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C)
[mm] \gdw [/mm] 0 [mm] \le [/mm] dim((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] C°) + dim((A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cap [/mm] B°) + dim((B [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cap [/mm] A°) + 2dim(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C)
So, die (c) müsste auch so funktionieren. Nur was fange ich mit der (b) an?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:00 Di 07.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, was du da im Beweis machst, geht so natürlich nicht, da du mengentheoretische Komplemente bildest und diese keine Unterräume mehr darstellen.
Stattdessen kannst du c) (und damit auch a)) ganz einfach mit der Dimensionsformel für Untervektorräume direkt beweisen. Diese Gleichung hast du ja auch angegeben, also kennst du sie offenbar.
Man rechnet dann so:
[mm] $\dim(A+B+C)$
[/mm]
[mm] $=\dim(A) [/mm] + [mm] \dim(B) [/mm] + [mm] \dim(C) [/mm] - [mm] \dim(A\cap [/mm] B) - [mm] \dim(A\cap [/mm] C) - [mm] \dim(B \cap [/mm] C) + [mm] \dim(A\cap B\cap [/mm] C)$.
[mm] $\le \dim(A) [/mm] + [mm] \dim(B) [/mm] + [mm] \dim(C) [/mm] - [mm] \dim(A\cap B\cap [/mm] C) - [mm] \dim(A\cap B\cap [/mm] C) - [mm] \dim(A\cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) + [mm] \dim(A\cap B\cap [/mm] C)$
$= [mm] \dim(A) [/mm] + [mm] \dim(B) [/mm] + [mm] \dim(C) [/mm] - [mm] 2\dim(A\cap B\cap [/mm] C)$,
wegen [mm] $A\cap B\cap [/mm] C [mm] \subset A\cap [/mm] B$ etc.
Zur b): Es gilt genau dann
[mm] $\dim(A [/mm] + B + C) = [mm] \dim(A) [/mm] + [mm] \dim(B) [/mm] + [mm] \dim(C)$,
[/mm]
wenn für die Unterräume $A$, $B$ und $C$ gilt:
$A [mm] \cap [/mm] B= [mm] A\cap [/mm] C = B [mm] \cap C=\{0\}$.
[/mm]
wie man an der Rechnung unmittelbar erkennt.
Liebe Grüße
Julius
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