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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Schmidtl |
| Aufgabe | | Welche der folgenden Mengen sind Unterräume von [mm] R^{3} [/mm] ? |
Hi,
ich lerne gerade für Lineare Algebra und habe zwei Beispielaufgaben mit Lösungen (ob Unterraum oder nicht), weiß aber nicht wie ich selber zur Lösung komme. Folgende Aufgaben:
(a) U1 = {b | b [mm] \in R^{3} [/mm] , b1 = b2}
Lösung: U1 ist Unterraum von [mm] R^{3}.
[/mm]
Ich weiß, dass ein Vektor nur im Unterraum liegt, wenn ich ihn mit einem anderen Vektor im Unterraum addieren oder mit einem Skalar multiplizieren kann und er dann immer noch im Unterraum liegt. Gleichzeitig muss ja hier irgendwie noch b1 = b2 sein. Aber wie löse ich es. Weil ich könnte jetzt bestimmt einen Vektor finden, für den das gilt aber man findet bestimmt auch einen, für den das nicht gilt.
(b) U2 = {b | b [mm] \in R^{3} [/mm] , b1 = 1}
Lösung: U2 ist kein Unterraum von [mm] R^{3}
[/mm]
Hier könnte ich damit argumentieren, dass wenn ich ein b habe, z.B. [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und den Vektor mit 2 multiplizieren würde, dass dann b1 nicht mehr 1, sondern 2 wäre und somit die Bedingung nicht erfüllt ist. Aber so wirklich weiß ich es eben nicht!
Könnt ihr mir irgendwie an den Beispielen zeigen, wie ich solche Aufgaben erfolgreich selber löse!?
Vielen vielen Dank!
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Hiho, 
letztendlich musst du nur 3 Sachen zeigen:
1.) [mm]U \not= \emptyset[/mm]
2.) [mm]\forall u,v \in U : u + v \in U[/mm]
3.) [mm]\forall u \in U\forall\lambda \in \IR\ : \lambda u \in U [/mm]
Deinen zweiten Fall hast du schon ja schon bewiesen, indem du gezeigt hast, das 3.) nicht gilt, also ist es kein Unterraum.
> Aber wie löse ich es. Weil ich könnte jetzt
> bestimmt einen Vektor finden, für den das gilt aber man
> findet bestimmt auch einen, für den das nicht gilt.
Na das versuch mal
Du 1.) ein Unterraum ist, wirst du keine Vektoren finden, für die das nicht gilt *g*
Hier hilft manchmal wirklich, ganz stupide aufzuschreiben, was du zeigen willst:
[mm]\forall u,v \in U: u+v \in U[/mm]
Sei [mm]u =\vektor{x_1 \\ y_2 \\ z_2}, v = \vektor{x_2 \\ y_2 \\ z_2}[/mm].
Du weisst u und v liegen im Unterraum. Was heisst das dann für u und v? Wie sieht dann u+v aus?
Gruß,
Gono.
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