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Hallo,
kann mir vielleicht jemand verständlich erklären was berandete Untermannigfaltigkeiten mit und ohne Rand sind und was deren Eigenschaften sind? ich habe zwar eine mathematische Definition aber die verstehe ich überhaupt nicht die besteht aus zwei teilen:
M [mm] \subset \IR^{n} [/mm] heißt k-dim berandete Untermannigfaltigkeit im [mm] \IR^{n} \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M gilt
(M) [mm] \exists [/mm] offene Umgebung U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] von x, [mm] \exists [/mm] V [mm] \subset \IR^{n}: \exists [/mm] h: U [mm] \to [/mm] V [mm] C^{1}-inv [/mm] (h(u)=V) mit h(U [mm] \cap [/mm] M)=V [mm] \cap [/mm] ( [mm] \IR^{n} [/mm] x {0})
(M') [mm] \exists [/mm] offene Umgebung U [mm] \subset \IR^{n} [/mm] von x [mm] \exists [/mm] V [mm] \in \IR^{n} [/mm] offen [mm] \exists [/mm] h:U [mm] \to [/mm] V [mm] C^{1}-inv [/mm] mit h(U [mm] \cap [/mm] M) = V [mm] \cap (H^{1} [/mm] x {0}) [mm] H^{1}={x \in \IR^{k} : x1 \le 0} [/mm] h(x)=(0,*,...,*,0,...,0)
ich verstehe leider gar nicht was damit alles gemeint sein soll und ich glaube ich habe auch Untermannigfaltigkeiten nciht wirklich verstanden also es wäre wirklich klasse, wenn mir damit jemand helfen kann.
Vielen Dank schon mal im Vorraus
Sternschnuppe
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Hallo sternschnuppe,
Die Definitionen, die Du hier angegeben hast sind jene für Untermannigfaltigkeiten ohne Rand.
Was sie aussagen ist folgendes: Man kann eine Mannigfaltigkeit in einer kleinen Umgebung immer "gerade" biegen. Oder: In einer kleinen Umgebung sieht eine Mannigfaltigkeit "fast" aus, wie ein Untervektorraum.
Wie sieht man das in der Definition? $ [mm] \IR^{n} \gdw \forall [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ M gilt $ [mm] \exists [/mm] $ offene Umgebung U $ [mm] \subset \IR^{n} [/mm] $ von x, $ [mm] \exists [/mm] $ V $ [mm] \subset \IR^{n}: \exists [/mm] $ h: U $ [mm] \to [/mm] $ V $ [mm] C^{1}-inv [/mm] $ (h(u)=V) mit h(U $ [mm] \cap [/mm] $ M)=V $ [mm] \cap [/mm] $ $( [mm] \IR^{k} \times \{0\}^{n-k}) [/mm] $
Man nimmt eine kleine Umgebung von x, nämlich $U [mm] \cap [/mm] M$. Das Bild dieser Umgebung unter h ist dann $V [mm] \cap [/mm] ( [mm] \IR^{k} \times \{0\}^{n-k}) [/mm] $ Das ist im Wesentlichen eine Teilmenge des [mm] $\IR^k$. [/mm] Dazu ist sie jetzt "gerade" gebogen. Denn im Gegensatz zu M ist [mm] $\IR^k$ [/mm] nicht gekrümmt.
Wieso hat man so lange geglaubt, die Erde sei eine Scheibe? Weil man in der Umgebung, die man mit freiem Auge sieht, die Krümmung kaum wahrnehmen kann. In so einer kleinen Umgebung erscheint sie uns bereits gerade gebogen.
Was sind jetzt Mannigfaltigkeiten mit Rand? Das sind abgeschlossene Teilmengen (bzgl. der Spurtopologie) von unberandeten Mannigfaltigkeiten.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:27 Do 21.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> Die Definitionen, die Du hier angegeben hast sind jene für
> Untermannigfaltigkeiten ohne Rand.
Nein. Sieh dir (M') an! Das ist genau die Definition, die man für Randpunkte braucht.
> Was sind jetzt Mannigfaltigkeiten mit Rand? Das sind
> abgeschlossene Teilmengen (bzgl. der Spurtopologie) von
> unberandeten Mannigfaltigkeiten.
Nein, das ist falsch. Randpunkte haben die Eigenschaft, dass sie lokal so aussehen wie ein Halbraum, üblich entfernt man dazu aus dem [m]\IR^n[/m] für eine Koordinate die positvie Hälfte.
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:32 Do 21.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> kann mir vielleicht jemand verständlich erklären was
> berandete Untermannigfaltigkeiten mit und ohne Rand sind
> und was deren Eigenschaften sind? ich habe zwar eine
> mathematische Definition aber die verstehe ich überhaupt
> nicht die besteht aus zwei teilen:
Ich hoffe mal in deiner Definition war implizit ein oder zwischen (M) und (M'). Es ist wohl eher wichtig, sich die Sache auch intuitiv klar zu machen: Untermangifaltigkeit allgemien wurde im anderen Post schön erklärt. Das mit Rand ist aber so: stelle dir die Erdoberfläche vor, als Sphäre ist es eine Untermagifaltigkeit. Jetzt schneide sie am Äquator durch. Dann hast du also einen Rand, quasi einen Verschluss, einen Bruch mit der üblichen "es siehtlokal aus wie ein euklidischer Raum", in dem man hier eine Begrenzung einführt. Klarer geworden? Anderes Beispiel: jedes abgeschlossene Intervall [m][a,b][/m]. Hier ist der Rand jeweils a und b. Der Rand selber ist einen (k-1)-dim Untermagifaltigkeit - bei der Sphäre ist der Rand ja wie eine Linie ...
SEcki
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