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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:42 Sa 30.10.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | M ist Untermannigfaltigkeit von N, N ist Untermannigfaltigkeit von L. Zeige: M ist Untermannigfaltigkeit von L. |
Hallo.
Ich bräuchte etwas Hilfe zu obiger Aufgabe.
Unsere Definition einer Untermannigfaltigkeit:
"Sei N eine n-dim. diff.bare [mm] C^k-Mannigfaltigkeit. [/mm] M [mm] \subset [/mm] N heißt [mm] C^k-Untermannigfaltigkeit [/mm] von N, wenn es zu jedem x [mm] \in [/mm] M eine Karte [mm] (U,\phi) [/mm] von N mit x [mm] \in [/mm] U und [mm] \phi [/mm] (U [mm] \cap M)=\phi [/mm] (U) [mm] \cap (\mathbb{R}^m \times \{0\}), [/mm] m [mm] \le [/mm] n gibt."
Unsere Definition einer Karte:
"Ein Paar [mm] (U,\phi), [/mm] wobei U [mm] \subset [/mm] M offen ist und [mm] \phi [/mm] : U [mm] \to \phi [/mm] (U) [mm] \subset \mathbb{R}^m [/mm] ein Homöomorphismus ist, heißt Karte von M."
Was ich zeigen muss:
(i) M [mm] \subset [/mm] L.
Bew: M ist UMF von N, also ist M [mm] \subset [/mm] N. N ist UMF von L, also ist N [mm] \subset [/mm] L. Nach Transitivität (Mengenlehre) gilt also M [mm] \subset [/mm] L.
(ii) Zu jedem x [mm] \in [/mm] M gibt es eine Karte [mm] (\tilde{U}, \tilde{\phi}) [/mm] von L mit x [mm] \in \tilde{U} [/mm] und [mm] \tilde{\phi} (\tilde{U} \cap [/mm] M) = [mm] \tilde{\phi} (\tilde{U}) \cap (\mathbb{R}^m \times \{0\}), [/mm] m [mm] \le [/mm] n (wobei n die Dimension von L ist).
Ich sehe hier nicht, wo der springende Punkt der Aufgabe ist. Warum kann ich nicht einfach zu M die Karte nehmen, die eh schon für N existiert? Warum muss gefordert werden, dass N eine Untermannigfaltigkeit von L ist. Warum genügt es nicht einfach, dass N eine Teilmenge von L ist?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!
lg moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 03.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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