Untermannigfaltigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Mi 01.06.2016 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | (a) Zeigen Sie, [mm] M:=\{(x,y,z)\in\IR^3 | z=x^2y\} [/mm] ist eine 2-dim. Untermannigfaltigkeit.
(b) Bestimmen Sie eine Parametrisierung [mm] \Phi:\IR^2 \to [/mm] M
(c) Sei p=(0,0,0). Bestimmen Sie den Tangentialraum [mm] T_p [/mm] M und den Normalraum [mm] N_p [/mm] M. |
Guten Morgen zusammen
Insbesondere bei Aufgabenteil (b) der Parametrisierung bin ich ins stocken geraten und brächte eine kleine Hilfestellung und vieleicht könnt Ihr mir da unter die Arme greifen.
Aufgabenteil (a):
Für die UMF muss ich nach Definition zeigen:
[mm] M\cutU=\{x\inU:f_1(x)=...=f_{n-k}(x)=0\} [/mm] und [mm] rang(\bruch{\partial(f_1,...,f_{n-k})}{\partial(x_1,...,x_n)}(a))=n-k
[/mm]
wobei [mm] a\in [/mm] M; U eine offene Umgebung von a in [mm] \IR^n [/mm] und [mm] f_1,...,f_1{n-k}: U\to\IR
[/mm]
Es gilt also: f(x,y,z)=x^2y-z
und dann [mm] M=\{f=0\} [/mm] wähle [mm] U=\IR^3 \rightarrow M\cut U=\{f=0\}
[/mm]
[mm] gradf(x,y,z)=(2xy,x^2,-1)
[/mm]
[mm] rang(\bruch{\partial f}{\partial(x,y,z)})=rang(2xy,x^2,-1)=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] M ist eine 2-dim. UMF vom [mm] \IR^3.
[/mm]
Passt das so?
Aufgabenteil (b):
Da ich aus (a) weiß, dass M ein UMF ist, weiß ich auch, dass es eine offene Umgebung [mm] U^{\sim}\subsetM [/mm] von a in M, eine offene Menge [mm] V^{\sim}\subset\IR^k [/mm] und eine Abb. [mm] \Phi: V^{\sim}\to U^{\sim} [/mm] gibt mit:
(i) [mm] \Phi \in C^l( V^{\sim},\IR^n), rang(J_{\Phi}(t))=k [/mm] für alle [mm] t\in V^{\sim}
[/mm]
(ii) [mm] \Phi [/mm] ist Homöomorphismus (d.h. [mm] \Phi [/mm] bijektiv und [mm] \Phi, \Phi^{-1}\stetig)
[/mm]
Leider fehlt mir der rechnerische Ansatz, wie ich auf die Funktion [mm] \Phi [/mm] zu obiger Aufgabe kommen kann. Vorab schonmal DANKE für Eure Hilfestellung!
Aufgabenteil (c):
Angenommen ich habe die Paramtetrisierung [mm] \Phi [/mm] aus (b), würde ich die partiellen Ableitungen bilden und den Punkt p=(0,0,0) einsetzen. Die Daraus entstehnden Vektoren bilden dann meinen Tangentialraum
[mm] T_{(0,0,0)}M=Lin\{\bruch{\partial \Phi}{\partial x}(0,0,0), \bruch{\partial \Phi}{\partial y}(0,0,0), \bruch{\partial \Phi}{\partial z}(0,0,0)\}\subset \IR^3
[/mm]
und für den Normalraum gilt: [mm] N_{(0,0,0)}M=Lin\{grad f(0,0,0)\}=Lin\{(0,0,-1)\}\subset\IR^3
[/mm]
Passt das so?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Mo 06.06.2016 | | Autor: | astol |
Du hast Glück, da M schon nach der Z-Variable aufgelöst ist, musst du nur noch eine Abbildung [mm] \Phi: \IR^2 \to [/mm] M mit [mm] (t_1,t_2) \mapsto (t_1,t_2,g(t_1,t_2)) [/mm] finden.
Definiere die also ein g so, dass [mm] \Phi [/mm] auch wirkltich nach M abgebildet wird. Dazu kannst du z.B. die Bedingungen, die für eine Parametrisierung erfüllt sein müssen testen.
Gruß astol
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