Untermannigf. und Projektion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien M eine Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^N [/mm] und [mm] F:\IR^N \to\IR [/mm] glatt. Sei f= [mm] F|_{M}: M\to \IR. [/mm] Zeige, dass grad f(x) die orthogonale Projektion von grad F(x) auf [mm] T_{x}M [/mm] ist. |
Hallo. Aus der Linearen Algebra weiß ich dass es eine eindeutige orthogonale Projektion gibt, die Vektoren aus einem unitären Vektorraum in einen Unterraum abbildet.
Ich verstehe die Aufgabe nicht:
Es gilt doch grad(f(x))=grad(F(x)) in x aus [mm] T_{x}M [/mm] (gemeint der Tangentialraum an M in x). Da gibt es doch nichts zu zeigen.
Da aber folgendes gilt: [mm] grad(f(x))=grad(F|_{M}(x))=grad(F(x)|_{T_{x}M}) [/mm] könnte ich mir vorstellen, dass man [mm] Bild(grad(f(x))=Bild(F(x))|_{Bild P(v)}) [/mm] zeigen soll. Und mit P meine ich die orthogonale projektion, die die v aus [mm] \IR^N [/mm] orthogonal auf [mm] T_{x}M [/mm] abbildet.
Kann mir das jemand bestätigen? Ich würde die Aufgabe ja gerne angehen, aber es scheint mir nicht klar genug formuliert zu sein, was zu zeigen ist.
Grüße, kulli
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Die Frage hat sich erübrigt. Ich bin von der falschen Annahme ausgegangen, dass der Gradient von F eingeschränkt auf M der selbe wäre, wie der Gradient von F auf [mm] \IR^N. [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 14.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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