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| Aufgabe | Betrachte die folgende Teilmenge der komplexen 2x2 Matrizen:
H:= [mm] (\pmat{ a & b \\ \overline{-b} & \overline{a} } [/mm] : a,b in C)
Diese Menge entspricht den sogenannten Quaternionen. Im folgenden bezeichne +, * die Matrixaddition, -multiplikation. Zeige die folgenden Aussagen:
a) (H,+,*) ist Unterring von (C2x2,+,*)
b) (H,+,*) ist Schiefkörper
c) (H,+,*) ist kein Körper
Hinweis: Es genügt die Angabe eines Gegenbeispiels |
Hallo
Ich habe diese Aufgabe in Lin. Alg erhalten. Nun bin ich mir über das vorgehen zur Lösung nicht ganz sicher.
Ich weiss, dass ich für a) nur zeigen muss,
dass H ungleich {},
das a,b in H und daraus folgt, das a-b in H
und das a,b in H und daraus folgt, das ab in H
bei b) muss ich nur zeigen, dass a in H [mm] \{} [/mm] invertierbar ist
und bei c)das die Multiplikation in H nicht kommutativ ist.
Aber ich weiss nicht wie ich das angehen/aufschreiben soll,besonders wegen den konjugierten Werten in der Matrix...
Ich hoffe jemand kann mir helfen..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Betrachte die folgende Teilmenge der komplexen 2x2
> Matrizen:
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> H:= [mm](\pmat{ a & b \\
\overline{-b} & \overline{a} }[/mm] : a,b in C)
>
> Diese Menge entspricht den sogenannten Quaternionen. Im
> folgenden bezeichne +, * die Matrixaddition,
> -multiplikation. Zeige die folgenden Aussagen:
>
> a) (H,+,*) ist Unterring von (C2x2,+,*)
> b) (H,+,*) ist Schiefkörper
> c) (H,+,*) ist kein Körper
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> Hinweis: Es genügt die Angabe eines Gegenbeispiels
> Hallo
>
> Ich habe diese Aufgabe in Lin. Alg erhalten. Nun bin ich
> mir über das vorgehen zur Lösung nicht ganz sicher.
>
> Ich weiss, dass ich für a) nur zeigen muss,
> dass H ungleich {},
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Gib hierfür eine konkrete Matrix an, die in der Menge H liegt.
> das a,b in H und daraus folgt, das a-b in H
Nein. Sondern:
wenn (!) die Matrizen A und B in H sind, dann ist es auch A-B.
Bew.: Seinen A, [mm] B\in [/mm] H.
Dann gibt es Elemente [mm] a_1, a_2, b_1, b_2\in \IC [/mm] mit
A=[mm]\pmat{ a_1 & b_1 \\
\overline{-b_1} & \overline{a_1} }[/mm] und
B=[mm] \pmat{ a_2 & b_2 \\
\overline{-b_2} & \overline{a_2} }[/mm].
Es ist [mm]A-B= ... =\pmat{ \red{...} & \green{...} \\
\overline{-\green{...}} & \overline{\red{...}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
,
> und das a,b in H und daraus folgt, das ab in H
Und $A*B= ... =\pmat{ ...& \blue{...} \\ \overline{-\blue{...}} & \overline{...}$
Versuch's erstmal bis hierher.
Gruß v. Angela
>
> bei b) muss ich nur zeigen, dass a in H [mm]\{}[/mm] invertierbar
> ist
>
> und bei c)das die Multiplikation in H nicht kommutativ
> ist.
>
> Aber ich weiss nicht wie ich das angehen/aufschreiben
> soll,besonders wegen den konjugierten Werten in der
> Matrix...
>
> Ich hoffe jemand kann mir helfen..
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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Hallo angela
Vielen Dank für deine Hilfe.
Das habe ich gerechnet, aber dann erhalte ich ja einfach wieder zwei neue Matrizen. Kann ich dann da die positionen a1,a2,b1,b2 irgendwie miteinander kürzen, damit ich eine übersichtliche Matrix erhalte?? oder kann ich dass dann einfach so stehen lassen und habe es so bewiesen??
ich bin vielleicht etwas schwer von begriff aber ich sehe es nicht...
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> Hallo angela
>
> Vielen Dank für deine Hilfe.
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> Das habe ich gerechnet, aber dann erhalte ich ja einfach
> wieder zwei neue Matrizen. Kann ich dann da die positionen
> a1,a2,b1,b2 irgendwie miteinander kürzen, damit ich eine
> übersichtliche Matrix erhalte?? oder kann ich dass dann
> einfach so stehen lassen und habe es so bewiesen??
>
> ich bin vielleicht etwas schwer von begriff aber ich sehe es nicht...
Hallo,
genau das ist auch mein Problem!
Zeig', was Du dastehen hast, dann können wir gucken, wie wir damit weitermachen.
Gruß v. Angela
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Meine zwei neuen Matrizen sehen wie folgt aus:
[mm] A-B:\pmat{ a1-a2 & b1-b2 \\ \overline{-b1}+\overline{b2} & \overline{a1}-\overline{a2} }
[/mm]
AB: [mm] \pmat{ a1a2+b1*\overline{-b2} & a1b1+b1b2 \\ \overline{-b1}*a1+\overline{a1*-b2} & \overline{-b1}*b2+\overline{a1*a2} }
[/mm]
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> Meine zwei neuen Matrizen sehen wie folgt aus:
>
Hallo,
> [mm]A-B\red{=}\pmat{ a1-a2 & b1-b2 \\
\overline{-b1}+\overline{b2} & \overline{a1}-\overline{a2} }[/mm]
[mm] =\pmat{ a_1-a_2 & b_1-b_2 \\ \overline{-(b_1-b_2)} & \overline{a_1-a_2}} $\in [/mm] H, denn diese Matrix ist von genau der passenden "Bauart".
Überleg' Dir das entsprechend für die andere Matrix.
>
> AB: [mm]\pmat{ a1a2+b1*\overline{-b2} & a1b1+b1b2 \\
\overline{-b1}*a1+\overline{a1*-b2} & \overline{-b1}*b2+\overline{a1*a2} }[/mm]
Indizes bekommst Du übrigens, indem Du den Unterstrich vor den gewüschten Index setzt.
Gruß v. Angela
>
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ok, danke vielmals das hat mir sehr geholfen
Kannst du mir vielleicht auch noch einen Tipp für teilaufgabe b und c geben?
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> ok, danke vielmals das hat mir sehr geholfen
>
> Kannst du mir vielleicht auch noch einen Tipp für
> teilaufgabe b und c geben?
Hallo,
zu b)
Du müßtest hier auch noch glaubhaft machen, daß die Einheitsmatrix enthalten ist - sonst ist Invertierbarkeit auch sinnlos.
Oder Du zeigst in Teilaufgabe a), daß es sich um einen Unterring mit Eins handelt.
Invertierbarkeit:
Sei [mm] A\in [/mm] H \ [mm] \{Nullmatrix}.
[/mm]
Dann existieren [mm] a,b\in \IC, [/mm] die nicht beide =0 sind mit
A=$ [mm] (\pmat{ a & b \\ \overline{-b} & \overline{a} } [/mm] $ .
Bestimme jetzt auf einem Nebenrechnungszettel die Inverse dieser Matrix, schreib sie so auf, daß man sieht, daß sie Element von H ist und rechne vor, daß die Multiplikation tatsächlich die Einheitsmatrix ergibt.
Bei c) reicht es, wenn Du zwei konkrete Matrizen aus H vorzeigst,bei denen es einen Unterschied macht, in welcher Reihenfolge Du multiplizierst.
Gruß v. Angela
>
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Hallo
Du bist mir wirklich eine riesen hilfe....
Aber ich stecke schon wieder fest, bei der Umformung von der Matrixmultiplikation von A
Kann ich sowas wie
[mm] a2=\overline{a2}
[/mm]
verwenden
und wie bringe ich die negativen Terme weg...
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> Aber ich stecke schon wieder fest, bei der Umformung von
> der Matrixmultiplikation von A
Hallo,
worum genau geht's denn jetzt?
Poste ein bißchen Zusammenhang - auch, wenn das Tippen Mühe macht.
Welche regeln fürs Konjugiert-Komplexe habt Ihr aufgeschrieben?
>
> Kann ich sowas wie
>
> [mm]a2=\overline{a2}[/mm]
> verwenden
Ganz sicher nicht - i.d.R. unterscheidet sich eine komplexe Zahl von ihrem Konjugiert-Komplexen.
>
> und wie bringe ich die negativen Terme weg...
Wo denn? Welche?
Gruß v. Angela
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Hallo Angela
ich bin immer noch bei der Matrixmultiplikation von der Teilaufgabe a) wo du mir geraten hast, dies einmal zu überdenken. Aber ich weiss nicht ob ich gewisse Zahlen umformulieren kann. Und so wie es dasteht, sehe ich nicht das die Matrix [mm] \in [/mm] H ist.
Bezüglich deiner Frage, die komplexen Zahlen wurden so ca in einer halben Vorlesung behandelt uns wurden nur die grundlegenden Rechenregeln erklärt und ich hatte die vorher noch nie...
daher weiss ich überhaupt nicht ob es noch spezielle Regeln, z.b. bei den Matrizen gibt...
vielen dank für deine Hilfe und ich hoffe ich habe mich klarer ausgedrückt
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> Hallo Angela
>
> ich bin immer noch bei der Matrixmultiplikation von der
> Teilaufgabe a)
Hallo,
wenn man die Matrix hier nochmal sehen könnte, wäre das hilfreich...
Und für Antwortende ist es schön, wenn sie sich nicht alles selbst zusammenklauben müssen...
Es geht also um die Matrix
AB=[mm] \pmat{ a_1a_2+b_1\cdot{}\overline{-b_2} & a_1b_1+b_1b_2 \\
\overline{-b_1}\cdot{}a_1+\overline{a_1\cdot{}-b_2} & \overline{-b_1}\cdot{}b_2+\overline{a_1\cdot{}a_2} } [/mm].
Jetzt gucken wir erstmal, ob Du richtig multipliziert hast, mir kommt nämlich etwas komisch vor...
Es war A=[mm] \pmat{ a_1 & b_1 \\
\overline{-b_1} & \overline{a_1} } [/mm] und B=[mm] \pmat{ a_2 & b_2 \\
\overline{-b_2} & \overline{a_2} } [/mm].
Es ist
A*B=[mm]\pmat{ a_1 & b_1 \\
\overline{-b_1} & \overline{a_1} } *\pmat{ a_2 & b_2 \\
\overline{-b_2} & \overline{a_2} } [/mm]=[mm]\pmat{ a_1a_2+b_1\overline{-b_2} & a_1b_2+b_1\overline{a_2}\\
\overline{-b_1}a_2+\overline{a_1}\overline{-b_2}& \overline{-b_1} b_2*\overline{a_1}\overline{a_2}}[/mm]
Vergleiche ich das mit Deiner Multiplikation, so sehe ich Diskrepanzen... Kontrolliere das.
Klappt's jetzt?
>
> Bezüglich deiner Frage, die komplexen Zahlen wurden so ca
> in einer halben Vorlesung behandelt uns wurden nur die
> grundlegenden Rechenregeln erklärt
Ja natürlich, so ist das in Vorlesungen.
Wenn Du jetzt immer noch nicht klarkommst mit der Matrix AB, dann solltest Du hier mal die Regeln aufschreiben, die Du zum komplexen Konjugieren gelernt hast.
> und ich hatte die
> vorher noch nie...
Deshalb darfst Du jetzt auch ein bißchen damit üben.
>
> daher weiss ich überhaupt nicht ob es noch spezielle
> Regeln, z.b. bei den Matrizen gibt...
Nein.
Wenn Du die Matrizen richtig multipliziert hast, mußt Du nur ein bißchn was übers Konjugiert-Komplexe wissen.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela
Danke das du mir schon am morgen hilfst.
Ich komme leider noch immer nicht klar, daher schreibe ich dir jetzt alle Regeln die wir in unserem Schript haben zur konjugation hier rein.
[mm] \overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}
[/mm]
[mm] \overline{z_1*z_2}=\overline{z_1}*\overline{z_2}
[/mm]
und das bei 2x2 Matrtrizen die Konjugation der Matrixtransposition entspricht. Dies ist ja aber bei dieser Aufgabe nicht der Fall
ausserdem weiss ich
Re(z) =1/2 [mm] (z+\overline{z})
[/mm]
Im(z) identisch ausser halt -
[mm] z*\overline{z}=|z|^2
[/mm]
Ja und das wars dann etwa...
>
> A*B=[mm]\pmat{ a_1 & b_1 \\
\overline{-b_1} & \overline{a_1} } *\pmat{ a_2 & b_2 \\
\overline{-b_2} & \overline{a_2} } [/mm]=[mm]\pmat{ a_1a_2+b_1\overline{-b_2} & a_1b_2+b_1\overline{a_2}\\
\overline{-b_1}a_2+\overline{a_1}\overline{-b_2}& \overline{-b_1} b_2*\overline{a_1}\overline{a_2}}[/mm]
>
>
Für mich ist diese Matrix nicht identisch mit der Ursprungsmatrix mir ist an jeder Position ein Term im weg, welcher nicht gemäss ursprungsmatrix H ist.
[mm] H=\pmat{ a & b \\ \overline{-b} & \overline{a} }
[/mm]
Ich kann es mit diesen Regeln die ich reingeschrieben habe auch nicht umformen....
Vielleicht bin ich ja blind aber ich sehe es echt nicht...
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> [mm]\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}[/mm]
> [mm]\overline{z_1*z_2}=\overline{z_1}*\overline{z_2}[/mm]
> >
> > A*B=[mm]\pmat{ a_1 & b_1 \\
\overline{-b_1} & \overline{a_1} } *\pmat{ a_2 & b_2 \\
\overline{-b_2} & \overline{a_2} } [/mm]=[mm]\pmat{ a_1a_2+b_1\overline{-b_2} & a_1b_2+b_1\overline{a_2}\\
\overline{-b_1}a_2+\overline{a_1}\overline{-b_2}& \overline{-b_1} b_2*\overline{a_1}\overline{a_2}}[/mm]
>
> >
> >
> Für mich ist diese Matrix nicht identisch mit der
> Ursprungsmatrix
Hallo,
mit welcher Ursprungsmatrix denn jetzt?
Es geht doch darum, ob [mm] $\pmat{ a_1a_2+b_1\overline{-b_2} & a_1b_2+b_1\overline{a_2}\\ \overline{-b_1}a_2+\overline{a_1}\overline{-b_2}& \overline{-b_1} b_2*\overline{a_1}\overline{a_2}}$ [/mm] in der Menge H ist.
Um diese Frage zu beantworten, mußt Du entscheiden, ob
1.der Matrixeintrag rechts unten das konjugiert-komplexe dessen von rechts oben ist, und
2. der Eintrag links unten das konjugiert-komplexe des negativen des Eintrages links oben ist.
> mir ist an jeder Position ein Term im weg,
> welcher nicht gemäss ursprungsmatrix H ist.
>
> [mm]H=\pmat{ a & b \\
\overline{-b} & \overline{a} }[/mm]
Aha: Du hast die Menge H überhaupt gar nicht verstanden.
H ist keine Matrix! H ist eine Menge, welche 2x2-Matrizen einer bestimmten Machart enthält.
In H sind diejenigen Matrizen,welche
1. Einträge aus den komplexen Zahlen haben, und bei denen
2.der Matrixeintrag rechts unten das konjugiert-komplexe dessen von rechts oben ist, und
3. der Eintrag links unten das konjugiert-komplexe des negativen des Eintrages links oben ist.
Wenn die Matrix A*B in dieses Muster paßt, dann ist sie ein Element aus H.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela
Aha, jetz verstehe ich es....
Vielen Dank für die Hilfe
Gruss Morgaine
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> Hallo Angela
>
> Aha, jetz verstehe ich es....
Hallo,
das freut sehr!
Gruß v. Angela
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