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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gruppe [mm] $A_{4}$ [/mm] keine Untergruppe der Ordnung 6 hat. |
Beweis sieht so aus (hab ich in Unterlagen eines Kommilitonen gefunden):
Nach Sylow hat [mm] $A_{4}$ [/mm] eine oder vier 3-Sylowgruppen.
Da jeder 3-Zykel schon eine 3-Sylowgruppe erzeugt muss [mm] $n_{3}$ [/mm] = 4 sein. D.h. es muss 8 Elemente
der Ordnung 3 geben. Daher muss mindestens eine dieser 3-Sylowgruppen – nennen wir sie $P$ –
in U liegen und mindestens eine – nennen wir sie $Q$ – muss mit U einen trivialen Schnitt haben.
Da U als Gruppe vom Index 3 ein Normalteiler ist muss für alle g [mm] $\in [/mm] \ [mm] A_{4}$ [/mm] gelten: [mm] $g^{-1}Pg\ \in\ [/mm] U$. Das
kann aber nicht sein, da nach Sylow $P$ und $Q$ konjugiert zueinander sein müssen.
Meine Frage lautet: Was stellt dieses [mm] $n_{3}$ [/mm] dar?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Mo 28.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Gruppe [mm]A_{4}[/mm] keine Untergruppe der
> Ordnung 6 hat.
> Beweis sieht so aus (hab ich in Unterlagen eines
> Kommilitonen gefunden):
>
> Nach Sylow hat [mm]A_{4}[/mm] eine oder vier 3-Sylowgruppen.
> Da jeder 3-Zykel schon eine 3-Sylowgruppe erzeugt muss
> [mm]n_{3}[/mm] = 4 sein. D.h. es muss 8 Elemente
> der Ordnung 3 geben. Daher muss mindestens eine dieser
> 3-Sylowgruppen – nennen wir sie [mm]P[/mm] –
> in U liegen und mindestens eine – nennen wir sie [mm]Q[/mm] –
> muss mit U einen trivialen Schnitt haben.
> Da U als Gruppe vom Index 3 ein Normalteiler ist muss für
> alle g [mm]\in \ A_{4}[/mm] gelten: [mm]g^{-1}Pg\ \in\ U[/mm]. Das
> kann aber nicht sein, da nach Sylow [mm]P[/mm] und [mm]Q[/mm] konjugiert
> zueinander sein müssen.
>
> Meine Frage lautet: Was stellt dieses [mm]n_{3}[/mm] dar?
Das ist die Anzahl der 3-Sylowuntergruppen von [mm] $A_4$.
[/mm]
LG Felix
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